RISOLUZIONE INTEGRALE

[soulbw]

Ciao a tutti ...sto cercando di risolvere questo integrale ( :pesi :pesi) ma non riesco..quindi chiedo a voi :daidai

[math]\int_{0}^{\infty} xt e^{-xt} dt [/math]

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, vogliamo calcolare

[math]
..\,\int_0^{+\infty} x\,t\,e^{-x\,t}\,dt\\
[/math]

che per definizione di integrale improprio equivale a scrivere

[math]
= \lim_{b\to +\infty}\int_0^b x\,t\,e^{-x\,t}\,dt \\
[/math]

e integrando per parti si ha

[math]
= \lim_{b\to +\infty}\left\{ \left[ t\,\int x\,e^{-x\,t}\,dt \right]_0^b - \int_0^b \left[\frac{d}{dt}(t)\,\int x\,e^{-x\,t}\,dt\right]\,dt \right\} \\

= \lim_{b\to +\infty}\left\{ \left[ -t\,e^{-x\,t} \right]_{t=0}^{t=b} + \int_0^b e^{-x\,t}\,dt \right\} \\

= \lim_{b\to +\infty}\left\{ -b\,e^{-x\,b} -\frac{1}{x}\left[ e^{-x\,t} \right]_{t=0}^{t=b} \right\} \\

= \lim_{b\to +\infty}\left[ \frac{1}{x}\left(1-e^{-x\,b}\right) - b\,e^{-x\,b} \right] \; . \\
[/math]

Quindi, a seguito di semplici considerazioni, si può concludere che

[math]
\int_0^{+\infty} x\,t\,e^{-x\,t}\,dt = \begin{cases} -\infty & se \; x < 0 \\ 0 & se \; x = 0 \\ \frac{1}{x} & se \; x > 0 \end{cases} \; . \\
[/math]

Chiaro? :)

[soulbw]

Ciao !! Grazie per aver risposto!!....allora una sola domanda..
nella terza riga della risoluzione...ottieni un 1/x..perchè?...(penso di saperlo) ma meglio chiedere eheheh:P

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Se lo sai la prossima volta sei invitato a scriverlo :D

In ogni modo, il motivo è molto semplice. Infatti si ha

[math]
\int e^{-x\,t}\,dt = -\frac{1}{x}\int e^{-x\,t}\,(-x\,dt) = -\frac{1}{x}e^{-x\,t} + c \; . \\
[/math]

Chiaro? :)

[soulbw]

Grazie Mille Per La Disponibilità..^^...:P