Risoluzione integrale
Cari amici, voglio risolvere con voi un integrale, che mi sta dando qualche problema.
L'integrale è questo. $\int_1^2 (x + 1)/(x*(1 + x*e^x))dx$
Dato che il denominatore presenta più membri, ho pensato di risolvere l'integrale col metodo dei fratti semplici.
Così: $(x + 1)/(x*(1 + x*e^x)) = A/x + B/(1+x*e^x)$. Quindi, avrò al numeratore: $A*(1+x*e^x) + B*x$.
Tramite il principio di identità dei polinomi, trovo che: $A = 1$ e $B=1-e^x$.
L'integrale di partenza lo posso scrivere così: $\int_1^2 1/xdx$ + $\int_1^2 (1-e^x)/(1+x*e^x)dx$.
Il primo è abbastanza semplice, il secondo no. Ho provato a dividere nuovamente il secondo integrale ma non ottengo nulla di significativo. Nè con fratti semplici nè con la sostituzione.
Il mio ragionamento è esatto o l'integrale si può risolvere in altro modo? Grazie, ciao.
L'integrale è questo. $\int_1^2 (x + 1)/(x*(1 + x*e^x))dx$
Dato che il denominatore presenta più membri, ho pensato di risolvere l'integrale col metodo dei fratti semplici.
Così: $(x + 1)/(x*(1 + x*e^x)) = A/x + B/(1+x*e^x)$. Quindi, avrò al numeratore: $A*(1+x*e^x) + B*x$.
Tramite il principio di identità dei polinomi, trovo che: $A = 1$ e $B=1-e^x$.
L'integrale di partenza lo posso scrivere così: $\int_1^2 1/xdx$ + $\int_1^2 (1-e^x)/(1+x*e^x)dx$.
Il primo è abbastanza semplice, il secondo no. Ho provato a dividere nuovamente il secondo integrale ma non ottengo nulla di significativo. Nè con fratti semplici nè con la sostituzione.
Il mio ragionamento è esatto o l'integrale si può risolvere in altro modo? Grazie, ciao.
Risposte
La derivata di $(1+xe^x)$ è $e^x(x+1)$. Questa non compare al numeratore solo perché manca $e^x$. Se lo aggiungessimo, moltiplicando numeratore e denominatore per $e^x$, avremmo al denominatore $(e^x x)(1+xe^x)$. La prima parentesi differisce dalla seconda solo per una costante. Tutto questo suggerisce la sostituzione $y=1+xe^x$.
Grazie dissonance per la tua risposta. Avevo già notato questa differenza tra il numeratore e il denominatore e facendo una sostituzione dello stesso tipo di quella da te scritta.
Ponendo $1+x*e^x = y$, ottengo al denominatore $y-1*(y)$. Per il numeratore come posso fare questa sostituzione? Al numeratore, senza sostituire, ho $e^x*(x+1)$. Quindi ho $x*e^x + e^x$.
Come sostituisco $e^x$ facendo la posizione precedente? Non è possibile fare $e^x = (y-1)/x$!!
Ponendo $1+x*e^x = y$, ottengo al denominatore $y-1*(y)$. Per il numeratore come posso fare questa sostituzione? Al numeratore, senza sostituire, ho $e^x*(x+1)$. Quindi ho $x*e^x + e^x$.
Come sostituisco $e^x$ facendo la posizione precedente? Non è possibile fare $e^x = (y-1)/x$!!
Ponendo $1+x*e^x = y$ calcolando il differenziale ottieni $e^x(1+x)*dx=dy$ quindi l'integrale diventa
$\int (e^x*(x + 1))/(x*e^x*(1 + x*e^x))dx=\int dy/((y-1)*y)$
$\int (e^x*(x + 1))/(x*e^x*(1 + x*e^x))dx=\int dy/((y-1)*y)$
@Albertus16: Avevo in mente esattamente quello che ha scritto @melia. Per rispondere esplicitamente alla tua ultima domanda, quando dichiari che $y=1+xe^x$, se volessi esprimere $x$ in funzione di $y$ sarebbe complicato. Invece è semplice esprimere $xe^x$ in funzione di $y$. E' questo che intendevo quando dicevo che "la prima parentesi differisce dalla seconda solo per una costante".
Ora ho capito tutto. Come ho fatto a non capire una semplice derivata?
Perfetto. Grazie a tutti!
Perfetto. Grazie a tutti!
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