Risoluzione integrale
ciao, volevo chiedervi se ci fosse un metodo per risolvere questo integrale senza andare a finire a fare conti assurdi... $ 2int_(-R)^(R)√(R^2-x^2) dx $
Risposte
Hai provato a fare un disegno?
sì! mi rendo conto che si tratti dell'area del cerchio, $ piR^2 $ , ma non riesco a risolvere l'integrale 
Prova con $x=Rsin(t)$.
Ciao itisscience,
Se non vuoi risolverlo graficamente o con l'ottima sostituzione che ti ha già suggerito otta96, lo puoi risolvere tramite integrazione per parti e dovresti riuscire ad ottenere il risultato seguente:
$2 \int \sqrt{R^2 - x^2} \text{d}x = x \sqrt{R^2 - x^2} + R^2 arcsin(x/R) + c $
Quindi ovviamente si ha:
$2 \int_{- R}^R \sqrt{R^2 - x^2} \text{d}x = [x \sqrt{R^2 - x^2} + R^2 arcsin(x/R)]_{- R}^R = $
$ = [R^2 arcsin(1) - R^2 arcsin(- 1)] = \pi R^2 $
Se non vuoi risolverlo graficamente o con l'ottima sostituzione che ti ha già suggerito otta96, lo puoi risolvere tramite integrazione per parti e dovresti riuscire ad ottenere il risultato seguente:
$2 \int \sqrt{R^2 - x^2} \text{d}x = x \sqrt{R^2 - x^2} + R^2 arcsin(x/R) + c $
Quindi ovviamente si ha:
$2 \int_{- R}^R \sqrt{R^2 - x^2} \text{d}x = [x \sqrt{R^2 - x^2} + R^2 arcsin(x/R)]_{- R}^R = $
$ = [R^2 arcsin(1) - R^2 arcsin(- 1)] = \pi R^2 $
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