Risoluzione integrale
Salve a tutti, tra non molto ho lo scritto di analisi ed in questi giorni sto facendo parecchi esercizi.. stamattina ho svolto il seguente esercizio e vi pregherei di dirmi se va bene o se ho sbagliato qualcosa, grazie 
Calcolare il seguente integrale generalizzato:
$int_{0}^{1} 1/(sqrt(1-x^2)) dx$
Prima cosa determino il campo di esistenza della funzione integranda:
$1-x^2 > 0 rArr ( -1, 1 )$
Dato che la funzione non è continua negli estremi di integrazione, sono in presenza di un integrale improprio di seconda specie, quindi:
$lim_{epsilon \to \0^+}int_{0}^{1+epsilon} 1/(sqrt(1-x^2)) dx$
$lim_{epsilon \to \0^+}[arcsen(1+epsilon)-arcsen(0)] = pi/2$
Calcolare il seguente integrale generalizzato:
$int_{0}^{1} 1/(sqrt(1-x^2)) dx$
Prima cosa determino il campo di esistenza della funzione integranda:
$1-x^2 > 0 rArr ( -1, 1 )$
Dato che la funzione non è continua negli estremi di integrazione, sono in presenza di un integrale improprio di seconda specie, quindi:
$lim_{epsilon \to \0^+}int_{0}^{1+epsilon} 1/(sqrt(1-x^2)) dx$
$lim_{epsilon \to \0^+}[arcsen(1+epsilon)-arcsen(0)] = pi/2$
Risposte
mi sa che quest'integrale si risolve con le sostituzioni notevoli. Io avrei agito così
$\int R(x, \sqrt{a^2-x^2})dx$, fai $x=a\sin (t), dx=a\cos(t) dt$
per cui si ha $\int (dx)/(\sqrt{1-x^2})\to x=\sin t, dx=\cos(t)dt, t=\arcsin(x)$
Cambiamo gli estremi di integrazione ponendo $x=0\to t=0$ e per $x=1\to t=\pi/2$
$\int_(0)^(\pi/2)(\cos(t))/(\sqrt{1-\sin^2 t})dt=\int_(0)^(\pi/2) dt=t|_0^(\pi/2)=\pi/2-0=\pi/2$
ecco l'area calcolata
che ok è un'integrale improprio in $x=\pm 1$, ma in questo caso consideriamo il caso $x=1$
facendo $x\to 1$ $f(x)~ (1)/((1-x^2)^(1/2))$ e questo CONVERGE nell'intorno di 1.. per cui l'integrale ESISTE in 1, ed anche esisterà in $x=-1$
$\int R(x, \sqrt{a^2-x^2})dx$, fai $x=a\sin (t), dx=a\cos(t) dt$
per cui si ha $\int (dx)/(\sqrt{1-x^2})\to x=\sin t, dx=\cos(t)dt, t=\arcsin(x)$
Cambiamo gli estremi di integrazione ponendo $x=0\to t=0$ e per $x=1\to t=\pi/2$
$\int_(0)^(\pi/2)(\cos(t))/(\sqrt{1-\sin^2 t})dt=\int_(0)^(\pi/2) dt=t|_0^(\pi/2)=\pi/2-0=\pi/2$
ecco l'area calcolata
che ok è un'integrale improprio in $x=\pm 1$, ma in questo caso consideriamo il caso $x=1$
facendo $x\to 1$ $f(x)~ (1)/((1-x^2)^(1/2))$ e questo CONVERGE nell'intorno di 1.. per cui l'integrale ESISTE in 1, ed anche esisterà in $x=-1$
@Nemesis: Ok è giusto
@21zuclo:
Senz'altro il metodo è valido, ma le sostituzioni ti allungano inutilmente il calcolo - l'integranda è una derivata nota, perché sostituire? Una volta trovatone il dominio, la convergenza può essere verificata così:
$lim_(x->1^-) 1/(sqrt(1-x^2))= +oo text( di ordine < 1) => text(converge)$
e quindi:
$=>int_0^1 1/(sqrt(1-x^2))dx=[arcsin(x)]_0^1=pi/2-0=pi/2$
@21zuclo:
"21zuclo":
mi sa che quest'integrale si risolve con le sostituzioni notevoli. Io avrei agito così [...]
Senz'altro il metodo è valido, ma le sostituzioni ti allungano inutilmente il calcolo - l'integranda è una derivata nota, perché sostituire?
Una volta trovatone il dominio, la convergenza può essere verificata così:$lim_(x->1^-) 1/(sqrt(1-x^2))= +oo text( di ordine < 1) => text(converge)$
e quindi:
$=>int_0^1 1/(sqrt(1-x^2))dx=[arcsin(x)]_0^1=pi/2-0=pi/2$
ah già è vero è integrale immediato! XD non l'ho visto subito..
eh va bé!.. $\int (dx)/(\sqrt{1-x^2})=\arcsin(x)+C$
chiedo scusa!
eh va bé!.. $\int (dx)/(\sqrt{1-x^2})=\arcsin(x)+C$
chiedo scusa!
"21zuclo":
chiedo scusa!
E di che? La mia è una pacata osservazione: inoltre come l'hai svolto tu non è mica sbagliato
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