Risoluzione forma differenziali
Ciao ragazzi, come faccio a risolvere la seguente forma differenziale:
$(x+y)dx-xdy=0$ ??
la foma differenziale è non chiusa, quindi non esatta...
premetto che sono un pò arrugginita in analisi..
$(x+y)dx-xdy=0$ ??
la foma differenziale è non chiusa, quindi non esatta...
premetto che sono un pò arrugginita in analisi..
Risposte
"sangi89":
Ciao ragazzi, come faccio a risolvere la seguente forma differenziale:
$(x+y)dx-xdy=0$ ??
la foma differenziale è non chiusa, quindi non esatta...
premetto che sono un pò arrugginita in analisi..
mi pare che sia un'equazione differenziale esatta..
NON le ho trattate a lezione di Analisi 2, ma le ho viste su vari eserciziari ed in rete.. non ho avuto il tempo per approfondire l'argomento..mi dispiace..
aspetto altre risposte, così se in futuro mi servono oppure se voglio approfondire!..
Sarebbe esatta se fosse una forma differenziale esatta (e non lo è). Io direi che puoi osservare quanto segue: se fosse $x=0$, allora tale curva (l'asse delle ordinate) sarebbe soluzione (si verifica facilmente). Ora puoi riscrivere l'equazione come
$$x+y-x y'=0$$
avendo "diviso" (ma in realtà l'idea è quella di "differenziare" la forma) per $dx$ e avendo scritto $y'={dy}/{dx}$, in modo da renderla una equazione lineare.
Altro metodo possibile, sarebbe quello di trovare il "fattore integrante", cioè una funzione $\omega\ne 0$ da moltiplicare per la forma in modo da renderla esatta: in soldoni dovremmo avere
$$\frac{\partial}{\partial y}[\omega(x+y)]=\frac{\partial}{\partial x}[-\omega x]$$
Supponendo $\omega$ dipendente da una sola variabile si hanno le seguenti condizioni:
1) se $\omega=\omega(x)$ allora $\omega=-\omega'\cdot x-\omega\ \Rightarrow\ \omega'\cdot x=-2\omega\ \Rightarrow\ \omega(x)=1/{x^2}$
2) se $\omega=\omega(y)$ allora $\omega'(x+y)+\omega=-\omega\ \Rightarrow\ \omega'(x+y)=-2\omega$ e questa risulta non accettabile in quanto la $\omega$ dovrebbe dipendere da entrambe le variabili.
Se allora $\omega(x)=1/{x^2}$ moltiplicando si ottiene l'equazione equivalente
$$\frac{x+y}{x^2}\ dx-\frac{1}{x}\ dy=0$$
che risulta esatta. Da qui suppongo tu sappia come procedere.
NOTA: faccio presente che con il primo metodo si trovano le soluzioni generali del tipo $y=y(x,c)$ con $c\in RR$ costante arbitraria, mentre con il secondo una funzione $f=f(x,y)$ primitiva della forma. Le due cose coincidono se si pone $f(x,y)=c$ e si esplicita tale funzione rispetto a $y$ (e si noti che anche con il secondo metodo, dovendosi porre $x\ne 0$ per rendere verificata la forma, la funzione $x=0$ risulta soluzione).
$$x+y-x y'=0$$
avendo "diviso" (ma in realtà l'idea è quella di "differenziare" la forma) per $dx$ e avendo scritto $y'={dy}/{dx}$, in modo da renderla una equazione lineare.
Altro metodo possibile, sarebbe quello di trovare il "fattore integrante", cioè una funzione $\omega\ne 0$ da moltiplicare per la forma in modo da renderla esatta: in soldoni dovremmo avere
$$\frac{\partial}{\partial y}[\omega(x+y)]=\frac{\partial}{\partial x}[-\omega x]$$
Supponendo $\omega$ dipendente da una sola variabile si hanno le seguenti condizioni:
1) se $\omega=\omega(x)$ allora $\omega=-\omega'\cdot x-\omega\ \Rightarrow\ \omega'\cdot x=-2\omega\ \Rightarrow\ \omega(x)=1/{x^2}$
2) se $\omega=\omega(y)$ allora $\omega'(x+y)+\omega=-\omega\ \Rightarrow\ \omega'(x+y)=-2\omega$ e questa risulta non accettabile in quanto la $\omega$ dovrebbe dipendere da entrambe le variabili.
Se allora $\omega(x)=1/{x^2}$ moltiplicando si ottiene l'equazione equivalente
$$\frac{x+y}{x^2}\ dx-\frac{1}{x}\ dy=0$$
che risulta esatta. Da qui suppongo tu sappia come procedere.
NOTA: faccio presente che con il primo metodo si trovano le soluzioni generali del tipo $y=y(x,c)$ con $c\in RR$ costante arbitraria, mentre con il secondo una funzione $f=f(x,y)$ primitiva della forma. Le due cose coincidono se si pone $f(x,y)=c$ e si esplicita tale funzione rispetto a $y$ (e si noti che anche con il secondo metodo, dovendosi porre $x\ne 0$ per rendere verificata la forma, la funzione $x=0$ risulta soluzione).
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