Risoluzione Forma Differenziale
Scusate ragazzi sono nuovo del forum cerco aiuto perchè è da circa due giorni che tento di studiare la seguente forma differenziale senza alcun risultato . Allora la forma è $((y)/(x^2-y^2))+e^x dx$ + $((x)/(y^2-x^2))+e^y dy$
premetto che ho verificato che la forma è chiusa , il dominio non è semplicemente connesso ma i sottoinsiemi si quindi è esatta in ciascuno dei sottoinsiemi . Il difficile viene al momento di calcolare la primitiva , perchè mi viene richiesto di calcolare la primitiva che si annulla in (1,0) a questo punto con il metodo classico ovvero integrando rispetto alle x il primo "pezzo" della forma e poi derivandolo per y , e infine ponendolo uguale alla seconda parte della forma differenziale vengono dei risultati strani e la primitiva non si annulla.
Chiedo quindi cortesemente il vostro aiuto e ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi
premetto che ho verificato che la forma è chiusa , il dominio non è semplicemente connesso ma i sottoinsiemi si quindi è esatta in ciascuno dei sottoinsiemi . Il difficile viene al momento di calcolare la primitiva , perchè mi viene richiesto di calcolare la primitiva che si annulla in (1,0) a questo punto con il metodo classico ovvero integrando rispetto alle x il primo "pezzo" della forma e poi derivandolo per y , e infine ponendolo uguale alla seconda parte della forma differenziale vengono dei risultati strani e la primitiva non si annulla.
Chiedo quindi cortesemente il vostro aiuto e ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi
Risposte
Ciao,
ti propongo un metodo alternativo per calcolare il potenziale associato alla tua forma. L'analogia è con la fisica dove, per esempio, puoi pensare alla forma esatta come ad una forza conservativa e al potenziale come all'energia potenziale associata alla forza in questione. Ma immagino che questa analogia già ti fosse stata presentata. Spingiamola un po' più avanti. Dalla fisica sai che l'energia potenziale è (meno) il lavoro compiuto dalla forza lungo un certo cammino. Questo lavoro non dipende dal cammino per definizione di forza conservativa e quindi per calcolarlo possiamo usare il cammino che ci risulta più comodo. Ora come il lavoro è l'integrale di linea della forza allora il potenziale sarà dato dall'integrale di linea della forma lungo il cammino. Il cammino dovrà iniziare dal punto scelto come "zero" del potenziale e finire in un generico punto $(x,y)$, naturalmente all'interno della parte semplicemente connessa al punto di "zero". Nel tuo caso siccome lo zero è $(1,0)$, il punto finale dovrà appartenere all'insieme
\( D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x>0 , |y| < x \} \)
e un percorso comodo potrebbe essere la spezzata che parta da $A(1,0)$ arriva in $B(x,0)$ e prosegue fino a $C(x,y)$. Possiamo parametrizzarlo come segue:
- \( AB = \{ (t,0) : t \in [1,x ] \} \)
- \( BC = \{ (x,t) : t \in [0,y ] \} \)
e in formule avremo ($\omega$ è la tua forma)
\(\displaystyle V(x,y) = \int_{AB \cup BC} \omega = \int_{AB} \omega + \int_{BC} \omega \)
Ora non resta che calcolare l'integrale di linea. In AB si ha che (non me ne vogliano i matematici...) $dx = dt$ e $dy = 0$, da cui
\(\displaystyle \int_{AB} \omega = \int_1^x \left( \frac{0}{t^2- 0} + e^t \right) dt = e^x - e \)
In BC invece si ha $dx=0$ e $dy=dt$ quindi
\(\displaystyle \int_{BC} \omega = \int_0^y \left( \frac{x}{t^2 - x^2} + e^t \right) dt = \int_0^{y/x} \frac{1}{z^2 - 1} dz + e^y - 1 = \int_0^{y/x} \left( \frac{1}{2} \frac{1}{z - 1} -\frac{1}{2} \frac{1}{z + 1} \right) dz + e^y - 1 \)
\(\displaystyle = \frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{z-1}{z+1} \right| \right]_0^{y/x} + e^y - 1 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{y-x}{y+x} \right| + e^y - 1 \)
Metti tutto assieme
\(\displaystyle V(x,y) = \frac{1}{2} \ln \frac{x-y}{y+x} + e^y + e^x - e - 1 \)
che soddisfa $V(1,0) = 0$ e le cui derivate parziali sono proprio le componenti della forma di partenza.
ti propongo un metodo alternativo per calcolare il potenziale associato alla tua forma. L'analogia è con la fisica dove, per esempio, puoi pensare alla forma esatta come ad una forza conservativa e al potenziale come all'energia potenziale associata alla forza in questione. Ma immagino che questa analogia già ti fosse stata presentata. Spingiamola un po' più avanti. Dalla fisica sai che l'energia potenziale è (meno) il lavoro compiuto dalla forza lungo un certo cammino. Questo lavoro non dipende dal cammino per definizione di forza conservativa e quindi per calcolarlo possiamo usare il cammino che ci risulta più comodo. Ora come il lavoro è l'integrale di linea della forza allora il potenziale sarà dato dall'integrale di linea della forma lungo il cammino. Il cammino dovrà iniziare dal punto scelto come "zero" del potenziale e finire in un generico punto $(x,y)$, naturalmente all'interno della parte semplicemente connessa al punto di "zero". Nel tuo caso siccome lo zero è $(1,0)$, il punto finale dovrà appartenere all'insieme
\( D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x>0 , |y| < x \} \)
e un percorso comodo potrebbe essere la spezzata che parta da $A(1,0)$ arriva in $B(x,0)$ e prosegue fino a $C(x,y)$. Possiamo parametrizzarlo come segue:
- \( AB = \{ (t,0) : t \in [1,x ] \} \)
- \( BC = \{ (x,t) : t \in [0,y ] \} \)
e in formule avremo ($\omega$ è la tua forma)
\(\displaystyle V(x,y) = \int_{AB \cup BC} \omega = \int_{AB} \omega + \int_{BC} \omega \)
Ora non resta che calcolare l'integrale di linea. In AB si ha che (non me ne vogliano i matematici...) $dx = dt$ e $dy = 0$, da cui
\(\displaystyle \int_{AB} \omega = \int_1^x \left( \frac{0}{t^2- 0} + e^t \right) dt = e^x - e \)
In BC invece si ha $dx=0$ e $dy=dt$ quindi
\(\displaystyle \int_{BC} \omega = \int_0^y \left( \frac{x}{t^2 - x^2} + e^t \right) dt = \int_0^{y/x} \frac{1}{z^2 - 1} dz + e^y - 1 = \int_0^{y/x} \left( \frac{1}{2} \frac{1}{z - 1} -\frac{1}{2} \frac{1}{z + 1} \right) dz + e^y - 1 \)
\(\displaystyle = \frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{z-1}{z+1} \right| \right]_0^{y/x} + e^y - 1 = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{y-x}{y+x} \right| + e^y - 1 \)
Metti tutto assieme
\(\displaystyle V(x,y) = \frac{1}{2} \ln \frac{x-y}{y+x} + e^y + e^x - e - 1 \)
che soddisfa $V(1,0) = 0$ e le cui derivate parziali sono proprio le componenti della forma di partenza.
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