Risoluzione forma differenziale
Buonasera ragazzi,
sto avendo problemi nella risoluzione della forma differenziale che ho messo in allegato. Sottolineo che è un argomento che non mi è del tutto chiaro quindi qualche spiegazione fa sempre comodo
Ho calcolato il dominio che mi risulta R^2 - {(0,0)}. Ho calcolato punto iniziale e punto finale e mi sono accorta che considerando il dominio solo per x > 0 questo risulta stellato. Ho calcolato le derivate che sono uguali e quindi ho dedotto che la forma differenziale fosse esatta. Detto questo, dovrei calcolarmi il potenziale, ma non so svolgermi gli integrali :S qualcuno potrebbe svolgerli dandomi qualche dritta? vi ringrazio!
sto avendo problemi nella risoluzione della forma differenziale che ho messo in allegato. Sottolineo che è un argomento che non mi è del tutto chiaro quindi qualche spiegazione fa sempre comodo
Ho calcolato il dominio che mi risulta R^2 - {(0,0)}. Ho calcolato punto iniziale e punto finale e mi sono accorta che considerando il dominio solo per x > 0 questo risulta stellato. Ho calcolato le derivate che sono uguali e quindi ho dedotto che la forma differenziale fosse esatta. Detto questo, dovrei calcolarmi il potenziale, ma non so svolgermi gli integrali :S qualcuno potrebbe svolgerli dandomi qualche dritta?
vi ringrazio!
Risposte
Allora, mi sa che c'è qualche termine diverso rispetto al mio professore 
per il mio professore un dominio STELLATO è quando i due punti (iniziale e finale) sono uniti da una sola retta, è la stessa definizione di NON semplicemente connesso? Per questo motivo ho fatto il ragionamento scritto in precedenza e cioè: i due punti si trovano entrambi nella parte destra del grafico quindi se consideriamo il dominio per x > 0 il dominio sarà stellato e, che io sappia, dominio stellato + forma diff chiusa = esatta. Sbaglio? Se sbaglio mi sapresti dire, quindi, quali sono le condizioni di esattezza per una forma differenziale (a parte l'uguaglianza delle derivate)?
So che è una grandissima rottura e mi scuso sin da ora, ma non è che potresti scrivere lo svolgimento dell'integrale? Perché le due variabili mi confondono parecchio, oppure scrivere a parole se lo hai svolto per sostituzione o che so io.
Ti ringrazio
per il mio professore un dominio STELLATO è quando i due punti (iniziale e finale) sono uniti da una sola retta, è la stessa definizione di NON semplicemente connesso? Per questo motivo ho fatto il ragionamento scritto in precedenza e cioè: i due punti si trovano entrambi nella parte destra del grafico quindi se consideriamo il dominio per x > 0 il dominio sarà stellato e, che io sappia, dominio stellato + forma diff chiusa = esatta. Sbaglio? Se sbaglio mi sapresti dire, quindi, quali sono le condizioni di esattezza per una forma differenziale (a parte l'uguaglianza delle derivate)? So che è una grandissima rottura e mi scuso sin da ora, ma non è che potresti scrivere lo svolgimento dell'integrale? Perché le due variabili mi confondono parecchio, oppure scrivere a parole se lo hai svolto per sostituzione o che so io.
Ti ringrazio
Riporto le parole del libro così da essere più chiara quando parlo del dominio:
Definizione aperto stellato: Sia A un aperto stellato di R^n. Diciamo che A è stellato se esiste un x0 $ in A $ tale che il segmento di estremi x0 e x è contenuto in A per ogni x $ in A $.
Teorema di Poincarè: Siano A un aperto stellato di R^n e $ omega : A rarr $ (R^n)* una forma differenziale di classe C'1(A) di coefficienti a1,…,an. La forma $ omega $ è esatta in A se e soltanto se essa è chiusa.
Definizione semplicemente connesso: Siano A un aperto connesso di R^n e x,y due punti distinti di A. L'aperto A si dice semplicemente connesso se tutte le curve della classe $ Phi (x,y) $ risultano omotope.
Definizione aperto stellato: Sia A un aperto stellato di R^n. Diciamo che A è stellato se esiste un x0 $ in A $ tale che il segmento di estremi x0 e x è contenuto in A per ogni x $ in A $.
Teorema di Poincarè: Siano A un aperto stellato di R^n e $ omega : A rarr $ (R^n)* una forma differenziale di classe C'1(A) di coefficienti a1,…,an. La forma $ omega $ è esatta in A se e soltanto se essa è chiusa.
Definizione semplicemente connesso: Siano A un aperto connesso di R^n e x,y due punti distinti di A. L'aperto A si dice semplicemente connesso se tutte le curve della classe $ Phi (x,y) $ risultano omotope.
E' vero ora mi è chiaro! Ti ringrazio!
ora mi è chiaro! Ti ringrazio!
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