Risoluzione esercizio sui numeri complessi
Ciao a tutti, mi sto esercitanto per un test di analisi 1 di ingegneria meccanica,ma non riesco a risolvere un esercizio di un tema d'esame intermedio sui numeri complessi che chiede:
"Il numero complesso
$((sqrt(2)-isqrt(2))/(1+isqrt(3)))^18
vale:"
ci sono varie possibilità ma il risultato è "-i"
sono riuscito a risolvere fino a buon punto, o almeno credo, solo che non riesco a concluderlo.
Qualcuno potrebbe farmi vedere come si fà con i vari passaggi? grazie in anticipo
"Il numero complesso
$((sqrt(2)-isqrt(2))/(1+isqrt(3)))^18
vale:"
ci sono varie possibilità ma il risultato è "-i"
sono riuscito a risolvere fino a buon punto, o almeno credo, solo che non riesco a concluderlo.
Qualcuno potrebbe farmi vedere come si fà con i vari passaggi? grazie in anticipo
Risposte
io l'ho risolto così:
ho moltiplicato tutto per $1/2$ così arrivo ad avere 7$\pi$/4 e $\pi$/3
$1/2((sqrt(2)-isqrt(2))/(1+isqrt(3)))^18$
$((sqrt(2)/2-isqrt(2)/2)/(1/2+isqrt(3)/2))^18$
$((e^i7\pi/4)/(e^i\pi/3))$
poi da qua mi vengono dei numeri abbastanza ingestibili ovvero arrivo ad avere $e^i51/6\pi$, spero di essere riuscito a fare qualcosa di giusto,aspetto vostri consigli
ho moltiplicato tutto per $1/2$ così arrivo ad avere 7$\pi$/4 e $\pi$/3
$1/2((sqrt(2)-isqrt(2))/(1+isqrt(3)))^18$
$((sqrt(2)/2-isqrt(2)/2)/(1/2+isqrt(3)/2))^18$
$((e^i7\pi/4)/(e^i\pi/3))$
poi da qua mi vengono dei numeri abbastanza ingestibili ovvero arrivo ad avere $e^i51/6\pi$, spero di essere riuscito a fare qualcosa di giusto,aspetto vostri consigli
[mod="Fioravante Patrone"]Grazie per aver riscritto il tuo post.[/mod]
"Zipgio":
io l'ho risolto così:
ho moltiplicato tutto per $1/2$ così arrivo ad avere $7/4pi$ e $\pi/3$
$1/2((sqrt(2)-isqrt(2))/(1+isqrt(3)))^18$
$((sqrt(2)/2-isqrt(2)/2)/(1/2+isqrt(3)/2))^18$
$((e^i7\pi/4)/(e^i\pi/3))$
poi da qua mi vengono dei numeri abbastanza ingestibili ovvero arrivo ad avere $e^i51/6\pi$, spero di essere riuscito a fare qualcosa di giusto,aspetto vostri consigli
Scusa, non capisco... Moltiplichi un numero per $1/2$ e ti aspetti che il numero rimanga lo stesso?
Vuoi forse dire che hai moltiplicato numeratore e denominatore dell'argomento della potenza entrambi per $1/2$?
Se è così il primo passaggio è scritto male.
Ad ogni modo, detti $N=sqrt(2)-"i"sqrt(2)$ e $D=1+"i"sqrt(3)$, hai:
$|N|=2,\ "Arg" N=-pi/4 => N=2"e"^(-pi/4"i")$ e $|D|=2,\ "Arg" D=pi/3 => D=2"e"^(pi/3"i")$
quindi, sfruttando le regole per la divisione e l'elevamento a potenza per numeri in forma esponenziale nonché le proprietà dell'esponenziale complesso, dovresti arrivare facilmente alla soluzione.
Se non hai fatto la forma esponenziale, ti consiglio di "razionalizzare" il denominatore nella base della potenza e poi proseguire con conti standard...
Prova e vedi se riesci.
grazie mille tra la tua spiegazione e quella di un mio compagno sono riuscito a risolverlo giusto 
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