Risoluzione esercizio di massimi e minimi in due variabili
Buongiorno a tutti
avrei bisogno di un confronto sul risultato di questo esercizio:
$f(x,y)=x^2+y^2-(x+y)$
$A={(x,y)\in R^2 : |x|<=1,|y|<=1}$
I punti che ho trovato sono i seguenti:
$P1(1/2,1/2)$ punto di sella all’interno del vincolo
$P2(1,1/2)$ punto di minimo sul bordo del vincolo
$P3(1/2,1)$ punto di minimo sul bordo del vincolo
$P4(-1,1/2)$ punto di massimo sul bordo del vincolo
$P5(1/2,-1)$ punto di massimo sul bordo del vincolo
Grazie
Gianluca
avrei bisogno di un confronto sul risultato di questo esercizio:
$f(x,y)=x^2+y^2-(x+y)$
$A={(x,y)\in R^2 : |x|<=1,|y|<=1}$
I punti che ho trovato sono i seguenti:
$P1(1/2,1/2)$ punto di sella all’interno del vincolo
$P2(1,1/2)$ punto di minimo sul bordo del vincolo
$P3(1/2,1)$ punto di minimo sul bordo del vincolo
$P4(-1,1/2)$ punto di massimo sul bordo del vincolo
$P5(1/2,-1)$ punto di massimo sul bordo del vincolo
Grazie
Gianluca
Risposte
Ciao
a volte può essere conveniente fare qualche controllo sostituendo dei valori per vedere se le idee che ci siamo fatte sono corrette
tu dici che ad esempio $P_3(1/2;1)$ che appartiene al vincolo (si trova sul bordo) è un minimo, calcoliamo il valore della funzione in quel punto e proviamo a confrontarlo con il valore che otterremmo un'altra coppia di coordinate che appartengono al vincolo, proviamo con $P_1(1/2;1/2)$
$f(1/2;1)=1/4+1-(1/2+1)=5/4-3/2=-1/4$
$f(1/2;1/2)=1/4+1/4-(1/2+1/2)=2/4-1=-1/2$
Anyway
secondo me il massimo è in $P_6(-1;-1)$
a volte può essere conveniente fare qualche controllo sostituendo dei valori per vedere se le idee che ci siamo fatte sono corrette
tu dici che ad esempio $P_3(1/2;1)$ che appartiene al vincolo (si trova sul bordo) è un minimo, calcoliamo il valore della funzione in quel punto e proviamo a confrontarlo con il valore che otterremmo un'altra coppia di coordinate che appartengono al vincolo, proviamo con $P_1(1/2;1/2)$
$f(1/2;1)=1/4+1-(1/2+1)=5/4-3/2=-1/4$
$f(1/2;1/2)=1/4+1/4-(1/2+1/2)=2/4-1=-1/2$
Anyway
secondo me il massimo è in $P_6(-1;-1)$
L'unico stazionario interno è $(1/2,1/2)$ mentre il vincolo altro non è che il quadrato $[-1,1]\times[-1,1]$ quindi Weiestrass garantisce l'esistenza di max/min.
Il bordo è fatto dai 4 lati del quadrato: $B_1={(1,t): t\in[-1,1]}\rightarrow \ f_1=f(1,t)=1+t^2-1-t=t^2-t$
$B_2={(-1,t):t\in[-1,1]}\rightarrow \ f_2=f(-1,t)=t^2-t+2 $
$B_3={(s,1):s\in[-1,1]}\rightarrow \ f_3=f(s,1)=s^2-s $
$B_4={(s,-1):s\in[-1,1]}\rightarrow \ f_4=f(s,-1)=s^2-s+2$
Quindi basta calcolare i punti di max/min di $f_i$ nei $B_i$ per ottenere tutti i punti di max/min sul vincolo
Oss: la funzione è simmetrica rispetto alla bisettrice, cioè $f(x,y)=f(y,x)$ Quindi basta calcolare max/min di $f_1 ,f_2$ su $B_1 , B_2$ e poi scambiando le coordinate ottengo max/min di $f_3,f_4$ su $B_3,B_4$
Il bordo è fatto dai 4 lati del quadrato: $B_1={(1,t): t\in[-1,1]}\rightarrow \ f_1=f(1,t)=1+t^2-1-t=t^2-t$
$B_2={(-1,t):t\in[-1,1]}\rightarrow \ f_2=f(-1,t)=t^2-t+2 $
$B_3={(s,1):s\in[-1,1]}\rightarrow \ f_3=f(s,1)=s^2-s $
$B_4={(s,-1):s\in[-1,1]}\rightarrow \ f_4=f(s,-1)=s^2-s+2$
Quindi basta calcolare i punti di max/min di $f_i$ nei $B_i$ per ottenere tutti i punti di max/min sul vincolo
Oss: la funzione è simmetrica rispetto alla bisettrice, cioè $f(x,y)=f(y,x)$ Quindi basta calcolare max/min di $f_1 ,f_2$ su $B_1 , B_2$ e poi scambiando le coordinate ottengo max/min di $f_3,f_4$ su $B_3,B_4$
quanta fatica...
non è che possiamo fare delle osservazioni che ci rendano più agevole la ricerca di max e min?
non è che possiamo fare delle osservazioni che ci rendano più agevole la ricerca di max e min?
"gio73":
Quanta fatica ...
Concordo. Del resto, almeno per quanto riguarda il minimo e il massimo assoluti, basterebbe considerare, rispettivamente, il centro $O$ delle curve di livello (un fascio di circonferenze concentriche) e il vertice $A$:
$[(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=R^2] rarr [f(x,y)=x^2+y^2-x-y=R^2-1/2]$
e bravo sergente
vedi che siamo d'accordo
vedi che siamo d'accordo
"gio73":
Anyway
secondo me il massimo è in $P_6(-1;-1)$
"gio73":
quanta fatica...
non è che possiamo fare delle osservazioni che ci rendano più agevole la ricerca di max e min?
Era per dargli un metodo il più generale possibile da utilizzare nei casi in cui il vincolo è un'insieme "facile" e la funzione non può essere rappresentata tramite curve di livello, ma ovviamente ogni studio di funzione è una cosa a sè dunque tutti i metodi sono ben accetti
grazie a tutti per le risposte.
ho ottenuto anch'io queste funzioni.
Ho calcolato la derivata prima di ognuna ponendola poi a zero. Alla fine ho sostituito $x$ e $y$ nella funzione in due variabili per calcolarmi $z$ e trovare il punto:
$B_1=f'(1,t)=0 \rightarrow 2t-1=0 \rightarrow t=1/2 \rightarrow P1(1,1/2,-1/4)$ Punto di minimo
$B_2=f'(-1,t)=0 \rightarrow 2t-1=0 \rightarrow t=1/2 \rightarrow P2(-1,1/2,7/4)$ Punto di massimo
$B_3=f'(s,1)=0 \rightarrow 2s-1=0 \rightarrow s=1/2 \rightarrow P1(1/2,1,-1/4)$ Punto di minimo
$B_4=f'(s,-1)=0 \rightarrow 2s-1=0 \rightarrow s=1/2 \rightarrow P2(1/2,-1,7/4)$ Punto di massimo
dove sbaglio?
grazie
Gianluca
"Lebesgue":
$B_1={(1,t): t\in[-1,1]}\rightarrow \ f_1=f(1,t)=1+t^2-1-t=t^2-t$
$B_2={(-1,t):t\in[-1,1]}\rightarrow \ f_2=f(-1,t)=t^2-t+2 $
$B_3={(s,1):s\in[-1,1]}\rightarrow \ f_3=f(s,1)=s^2-s $
$B_4={(s,-1):s\in[-1,1]}\rightarrow \ f_4=f(s,-1)=s^2-s+2$
Quindi basta calcolare i punti di max/min di $f_i$ nei $B_i$ per ottenere tutti i punti di max/min sul vincolo
ho ottenuto anch'io queste funzioni.
Ho calcolato la derivata prima di ognuna ponendola poi a zero. Alla fine ho sostituito $x$ e $y$ nella funzione in due variabili per calcolarmi $z$ e trovare il punto:
$B_1=f'(1,t)=0 \rightarrow 2t-1=0 \rightarrow t=1/2 \rightarrow P1(1,1/2,-1/4)$ Punto di minimo
$B_2=f'(-1,t)=0 \rightarrow 2t-1=0 \rightarrow t=1/2 \rightarrow P2(-1,1/2,7/4)$ Punto di massimo
$B_3=f'(s,1)=0 \rightarrow 2s-1=0 \rightarrow s=1/2 \rightarrow P1(1/2,1,-1/4)$ Punto di minimo
$B_4=f'(s,-1)=0 \rightarrow 2s-1=0 \rightarrow s=1/2 \rightarrow P2(1/2,-1,7/4)$ Punto di massimo
dove sbaglio?
grazie
Gianluca
Sbagli perchè da ogni funzione $f_i$ devi ricavare almeno due punti: quello di massimo e quello di minimo all'interno di $B_i$
(che esistono per Weiestrass poichè i $B_i$ sono compatti e le $f_i$ continue)
Ad esempio: per $f_1$ il punto $(1,1/2)$ è di minimo, ma i punti $(1,1);(1,-1)$ sono di massimo per $f_1 \ \mbox{ all'interno di } B_1$
Analogamente per $f_2$ il punto $(-1,1/2)$ è di minimo ma i punti $(-1,-1);(-1,1)$ sono di massimo per $f_2$ in $B_2$.
Alla fine dovresti ottenere tutti i seguenti punti:
$(1/2,1/2);(1,1);(-1,-1);(1,-1);(-1,1);(1,1/2);(-1,-1/2);(1/2,1);(1/2,-1)$.
Sostituendo in $f(x,y)$ trovi quali sono i punti di massimo e di minimo
(che esistono per Weiestrass poichè i $B_i$ sono compatti e le $f_i$ continue)
Ad esempio: per $f_1$ il punto $(1,1/2)$ è di minimo, ma i punti $(1,1);(1,-1)$ sono di massimo per $f_1 \ \mbox{ all'interno di } B_1$
Analogamente per $f_2$ il punto $(-1,1/2)$ è di minimo ma i punti $(-1,-1);(-1,1)$ sono di massimo per $f_2$ in $B_2$.
Alla fine dovresti ottenere tutti i seguenti punti:
$(1/2,1/2);(1,1);(-1,-1);(1,-1);(-1,1);(1,1/2);(-1,-1/2);(1/2,1);(1/2,-1)$.
Sostituendo in $f(x,y)$ trovi quali sono i punti di massimo e di minimo
mi sono praticamente dimenticato di tener conto degli estremi per ogni funzione....
Grazie Lebesegue per il tempo che mi hai dedicato.
Gianluca
Grazie Lebesegue per il tempo che mi hai dedicato.
Gianluca
"gio73":
... secondo me il massimo è in $P_6(-1;-1)$ ...
Anche secondo me.
"Gian74":
Grazie Lebesegue per il tempo che mi hai dedicato.
Gianluca
Figurati! D'altra parte anche io sto preparando Analisi 2
Al sergente
è che volevo rimarcare il fatto che l'ho scritto nella prima risposta all'OP
agli altri
secondo me fate sempre troppa fatica
perchè fissarsi su un metodo sempre uguale da applicare in tutte le occasioni?
I prof cercheranno di mettervi nell'esame qualcosa per spiazzarvi, il mio consiglio è di abituarsi a pensare in modo più creativo.
è che volevo rimarcare il fatto che l'ho scritto nella prima risposta all'OP
agli altri
secondo me fate sempre troppa fatica
perchè fissarsi su un metodo sempre uguale da applicare in tutte le occasioni?
I prof cercheranno di mettervi nell'esame qualcosa per spiazzarvi, il mio consiglio è di abituarsi a pensare in modo più creativo.
"gio73":
... è che volevo rimarcare il fatto che ...
L'avevo capito. Tra l'altro, hai fatto più che bene a rimarcarlo.
@gio73 ma infatti io ho detto
"Lebesgue":
ogni studio di funzione è una cosa a sè dunque tutti i metodi sono ben accetti
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