Risoluzione esercizi banali
Salve ragazzi, non sono sicuro la sezione sia corretta.
Vorrei una mano a risolvere questi esercizi che so essere banali ma non riesco a darmi risposta.
1)Si consideri il polinomio $p(x)= x^5+3x^2+x+1$ . Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
A) $p(x)$ non ha radici razionali
B) $p(x)$ è divisibile per $x+2$
C) $p(x)$ è irriducibile in $RR[x]$
D) $p(x)>=0$ per ogni x in $RR$
E) nessuna delle precedenti affermazioni è corretta.
2)Quale delle seguenti affermazioni è soddisfatta da ogni coppia di numeri reali a, b?
A) $(a+b)^3<=a^3+b^3$
B) $(a+b)^3>=a^3+b^3$
C) $b((a+b)^3-b^3)>=0$
D) $a((a+b)^3-b^3)>=0$
E) nessuna delle precedenti è corretta
In particolare vorrei capire il metodo risolutivo. Ad esempio il primo esercizio non riesco a ricondurlo ad alcuna formula di scomposizione però dire che è irriducibile mi sembra troppo scontato. Per quanto riguarda il secondo è giusto risolvere le singole disequazioni come fossero disequazioni con una sola variabile e studiare la relazione tra a e b?
Vi ringrazio anticipatamente,
Paolo
Vorrei una mano a risolvere questi esercizi che so essere banali ma non riesco a darmi risposta.
1)Si consideri il polinomio $p(x)= x^5+3x^2+x+1$ . Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
A) $p(x)$ non ha radici razionali
B) $p(x)$ è divisibile per $x+2$
C) $p(x)$ è irriducibile in $RR[x]$
D) $p(x)>=0$ per ogni x in $RR$
E) nessuna delle precedenti affermazioni è corretta.
2)Quale delle seguenti affermazioni è soddisfatta da ogni coppia di numeri reali a, b?
A) $(a+b)^3<=a^3+b^3$
B) $(a+b)^3>=a^3+b^3$
C) $b((a+b)^3-b^3)>=0$
D) $a((a+b)^3-b^3)>=0$
E) nessuna delle precedenti è corretta
In particolare vorrei capire il metodo risolutivo. Ad esempio il primo esercizio non riesco a ricondurlo ad alcuna formula di scomposizione però dire che è irriducibile mi sembra troppo scontato. Per quanto riguarda il secondo è giusto risolvere le singole disequazioni come fossero disequazioni con una sola variabile e studiare la relazione tra a e b?
Vi ringrazio anticipatamente,
Paolo
Risposte
"paolo1712":
1)Si consideri il polinomio $p(x)= x^5+3x^2+x+1$ . Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
A) $p(x)$ non ha radici razionali
B) $p(x)$ è divisibile per $x+2$
C) $p(x)$ è irriducibile in $RR[x]$
D) $p(x)>=0$ per ogni x in $RR$
E) nessuna delle precedenti affermazioni è corretta.
Anzitutto, essendo un polinomio di grado dispari, sicuramente ha almeno una radice reale, questo lo capisci dai limiti:
$\lim_(x\to+\infty) x^5+3x^2+x+1 =+\infty$, mentre $\lim_(x\to-\infty)x^5+3x^2+x+1=-\infty$
Dunque, per continuità, dovrai per forza intersecare l'asse $x$ almeno una volta, dunque sicuramente il polinomio avrà almeno una radice reale, e questo esclude automaticamente la risposta C).
Anche la D) è falsa, per via del limite a $-\infty$ che viene $-\infty$, dunque il tuo polinomio assumerà sicuramente valori negativi.
Vediamo la risposta B): se il polinomio è divisibile per $x+2$, per Ruffini significa che $x=-2$ è una sua radice, dunque calcoliamo $p(-2)$ e vediamo se viene $0$:
$p(-2)=(-2)^5+3(-2)^2+(-2)+1=-32+12-2+1=-21 \ne 0$, dunque la B) è falsa.
Controlliamo la A): dato un polinomio: $a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0$, le sue eventuali radici razionali sono della forma $\pm d/b$ dove $d$ è un divisore del termine noto $a_0$ e $b$ è un divisore del coefficiente del termine di grado più alto $a_n$.
Nel nostro caso, abbiamo che il termine noto è $a_0=1$ e il coefficiente del termine di grado più alto (cioè di $x^5$) è $a_n=1$, dunque le uniche possibili radici razionali sono $\pm 1$; controlliamo se sono effettivamente radici:
$p(1)=1+3+1+1=6\ne 0$
$p(-1)=-1+3-1+1=2 \ne 0$
Dunque né 1, né -1 sono radici del polinomio, dunque non ha radici razionali, quindi anche la A) è falsa.
Per esclusione, la risposta corretta è la E).
2)Quale delle seguenti affermazioni è soddisfatta da ogni coppia di numeri reali a, b?
A) $(a+b)^3<=a^3+b^3$
B) $(a+b)^3>=a^3+b^3$
C) $b((a+b)^3-b^3)>=0$
D) $a((a+b)^3-b^3)>=0$
E) nessuna delle precedenti è corretta
Iniziamo cercando le risposte false:
A) è falsa: se prendo $a=1,b=1$ ottengo: $8\le 2$, che non è vero.
B) è falsa, infatti se prendo $a=-1$ e $b=-1$ ottengo: $(a+b)^3=(-1-1)^3=(-2)^3=-8$, mentre $a^3+b^3=-2$ e non è vero che $-8\ge -2$.
C) è falsa, infatti: se prendo $a=-1$ e $b=1$ ho che:
$b((a+b)^3-b^3)=1(-1)=-1$ che non è un numero $\ge 0$.
D) invece è vera: $a((a+b)^3-b^3)=a(a^3+3a^2b+3ab^2)=a^2(a^2+3ab+3b^2)$
ora, $a^2\ge 0$ sempre, ed il termine $(a^2+3ab+3b^2)$, considerandolo nella variabile $a$ e con $b$ costante, ha il delta sempre negativo, dunque è un termine sempre positivo.
Dunque D) è prodotto di termini $\ge 0$ ed è dunque $\ge 0$.
In particolare vorrei capire il metodo risolutivo. Ad esempio il primo esercizio non riesco a ricondurlo ad alcuna formula di scomposizione però dire che è irriducibile mi sembra troppo scontato. Per quanto riguarda il secondo è giusto risolvere le singole disequazioni come fossero disequazioni con una sola variabile e studiare la relazione tra a e b?
In questo tipo di domande, ti conviene partire dalla risposta per vedere se è vera o falsa.
In particolare, nel secondo esercizio, dato che quelle relazioni devono esser vere per ogni valore di $a,b$, se trovi dei particolari valori per cui sono false, allora hai finito.
Conviene dunque fare delle prove e sostituire dei numeri (facendo più prove, non solo 1 o 2, e sostituendo numeri diversi, non sempre gli stessi) e vedere cosa succede.
Se magari, sostituendo diverse combinazioni di numeri ti accorgi che la risposta rimane sempre vera, allora conviene ragionare sul provare a dimostrare che quella è la risposta giusta.
Ti ringrazio, sei stato gentilissimo. In riferimento al secondo esercizio, l'unica risoluzione possibile è per tentativi? Non è possibile studiarlo analiticamente? Dato che in alcuni contesti con operazioni inerenti a potenze e radici di numeri $0<=x<=1$ i risultati potrebbero celare alcuni intervalli in cui non sono verificate le proprietà richieste, vorrei capire se fossero facilmente risolvibili senza andare a tentoni. Perdona l'assenza di formalismo nelle mie parole, spero di essermi spiegato correttamente.
Ti direi che, in casi come questi, in cui hai le risposte pronte, andare a tentativi è la via più veloce.
Per quanto riguarda le prime due disuguaglianze, ovvero le risposte A) e B), si vede subito che sono false: non valgono per il quadrato, figurarsi per il cubo.
Il ragionamento che c'è dietro è il seguente:
prendiamo la risposta B) $(a+b)^3\ge a^3+b^3$ e sviluppiamo il cubo, ottenendo $3a^2b+3ab^2\ge 0$
ovvero $3ab(a+b)\ge 0$ e si capisce subito che questa quantità non ha segno costante, da cui il fatto che A) e B) siano false.
aggiunta: volendo, si vede abbastanza facilmente che l'equazione $a^2+3ab+b^2=z$ è una ellisse se $z\ge 0$, da cui la sua positività
Sviluppando i conti per C) si ottiene: $b(a^3+3a^2b+3ab^2)\ge 0$, ovvero: $ab(a^2+3ab+3b^2)\ge 0$.
Studiando il secondo fattore come ho fatto nella risposta, si vede che è sempre $\ge0$, mentre il prodotto $ab$ non ha segno costante, da cui la falsità di C).
Ripetendo gli stessi conti per D), si ottiene la veridicità dell'affermazione.
Nota: mi sono appena accorto che nell'esercizio 1, la risposta corretta è la A).
Infatti la risposta A) dice: $p(x)$ non ha radici razionali, ed infatti il polinomio NON ne ha.
Nella fretta, avevo saltato il fondamentale "non"
Per quanto riguarda le prime due disuguaglianze, ovvero le risposte A) e B), si vede subito che sono false: non valgono per il quadrato, figurarsi per il cubo.
Il ragionamento che c'è dietro è il seguente:
prendiamo la risposta B) $(a+b)^3\ge a^3+b^3$ e sviluppiamo il cubo, ottenendo $3a^2b+3ab^2\ge 0$
ovvero $3ab(a+b)\ge 0$ e si capisce subito che questa quantità non ha segno costante, da cui il fatto che A) e B) siano false.
aggiunta: volendo, si vede abbastanza facilmente che l'equazione $a^2+3ab+b^2=z$ è una ellisse se $z\ge 0$, da cui la sua positività
Sviluppando i conti per C) si ottiene: $b(a^3+3a^2b+3ab^2)\ge 0$, ovvero: $ab(a^2+3ab+3b^2)\ge 0$.
Studiando il secondo fattore come ho fatto nella risposta, si vede che è sempre $\ge0$, mentre il prodotto $ab$ non ha segno costante, da cui la falsità di C).
Ripetendo gli stessi conti per D), si ottiene la veridicità dell'affermazione.
Nota: mi sono appena accorto che nell'esercizio 1, la risposta corretta è la A).
Infatti la risposta A) dice: $p(x)$ non ha radici razionali, ed infatti il polinomio NON ne ha.
Nella fretta, avevo saltato il fondamentale "non"
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