Risoluzione Equazioni Differenziali con Modulo

[Mhidy]

Salve a tutti,

ho un dubbio sulla risoluzione di alcune equazioni differenziali. Supponendo di averne una del primo ordine, del tipo:

y' - 2 |x| y = 2x (1-x^2)

L'integrale generale ad essa associato, sarà la somma dell'integrale generale della completa considerando dapprima il |x| come x, e poi come -x ?

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Considerando invece un'equazione del secondo ordine, del tipo:

y'' + 4y = sen|x| + cos(2x)
con condizioni y(0)=1 ; y'(0)=0

le considerazioni fatte per il primo esercizio valgono anche per questo?

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Per verificare la correttezza dell'integrale, solitamente sostituisco la y(x) trovata all'equazione originaria e confronto il tutto con il termine a destra dell'equazione. Nel caso del modulo però, non ottengo mai il valore desiderato... e da lì i dubbi

Grazie a tutti per l'aiuto, ciao!

[Fioravante Patrone1]

"Mhidy":Salve a tutti,

ho un dubbio sulla risoluzione di alcune equazioni differenziali. Supponendo di averne una del primo ordine, del tipo:

y' - 2 |x| y = 2x (1-x^2)

L'integrale generale ad essa associato, sarà la somma dell'integrale generale della completa considerando dapprima il |x| come x, e poi come -x ?

Ciao.
Se capisco bene quello che dici, la risposta è che non va bene come fai.
Tu devi trovare (in questo caso, che è del primo ordine) una soluzione (non identicamente nulla) dell'equazione omogenea. La troverai "mettendo assieme opportunamente" il pezzo che trovi per $x \ge 0$ e quello che ottieni per $x \le 0$. Se fai le cose per bene, trovi UNA soluzione, definita su $RR$.
Se chiamiamo $\phi(x)$ questa funzione, l'integrale generale in questo caso sarà dato da $c \cdot \phi(x)$, al variare di $c \in RR$.

Le procedure negli alti casi sono analoghe. Ti suggerirei di provare a risolvere l'omogenea e poi verificare se la $\phi(x)$ che trovi verifica davvero l'equazione data. Dopo di che, buon viaggio!

[Mhidy]

Tu devi trovare (in questo caso, che è del primo ordine) una soluzione (non identicamente nulla) dell'equazione omogenea. La troverai "mettendo assieme opportunamente" il pezzo che trovi per x≥0 e quello che ottieni per x≤0. Se fai le cose per bene, trovi UNA soluzione, definita su ℝ.

Anzitutto Fioravante, grazie per la risposta

Dimenticavo, la condizione per l'equazione è y(0) = 2

Dunque, procedo come segue: trovo l'integrale generale della completa (int. gen. della omogenea + soluzione particolare della completa) dell'equazione con x>0,

y' - 2 x y = 2x (1-x^2)

--> y1(x) = 2 e^(x^2) + x^2

poi faccio la stessa cosa cambiando segno al modulo (x < 0),

y' + 2 x y = 2x (1-x^2)

--> y2(x) = - e^( - x^2) { [x^2 - 2] e^( x^2) }

infine sommo le due soluzioni: y1(x) + y2(x). Che non porta è evidente, il fatto è che non saprei come selezionare opportunamente tali soluzioni per trovare un'opportuna y(x) da sostituire all'equazione di partenza.



Ciao! e scusa se le soluzioni sono poco leggibili, non ho ancora preso confidenza con la scrittura dei formalismi.

[Fioravante Patrone1]

Mi spiace, non ho tempo per rispondere (e domani parto...).
L'unica cosa che ti posso dire è di provare a rileggere con attenzione quello che dicevo nel mio post precedente.

[Mhidy]

Oky grazie cmq!

[dissonance]

"Mhidy":
infine sommo le due soluzioni: y1(x) + y2(x).

Mi intrometto per una domanda: non ho capito bene come arrivi a fare questa somma... Se ottieni la y1 come funzione definita per $x>=0$ e la y2 per $x<0$, poi non le puoi sommare così. Esempio scemo e forse fuorviante: che significa $sqrt(-x)+log\ x$? Nulla e difatti la funzione al primo addendo è definita al massimo per $x\in(-\infty, 0]$, quella al secondo addendo al massimo per $x\in(0, +\infty)$.
Quello che voglio dire è che si possono sommare funzioni definite nello stesso insieme, non in insiemi diversi. Non sono assolutamente esperto come Fioravante però credo che lui intendesse dire che devi "incollare" le due funzioni, non sommarle.