Risoluzione equazioni differenziali
Salve a tutti, purtroppo ho fatto analisi quando ancora non sapevo cosa significasse essere uno studente universitario e quindi adesso sto riscontrando delle difficoltà in alcuni argomenti. Sto preparando fisica 2 e mi trovo a dover risolvere delle equazioni differenziali che purtroppo non ricordo bene come svolgere.
Ad esempio l'equazione differenziale in questione è
$ (dv)/dt=−(b^2B^2v)/(mR)+(bBf)/(mR) $
Sono arrivato a questa equazione perchè il problema mi chiede di determinare l'andamento temporale della velocità.
L'equazione in questione è del tipo Equazione differenziale del primo ordine non omogenea? mi da "fastidio" quel dt, mi butta fuori strada.
Grazie mille in anticipo
Ad esempio l'equazione differenziale in questione è
$ (dv)/dt=−(b^2B^2v)/(mR)+(bBf)/(mR) $
Sono arrivato a questa equazione perchè il problema mi chiede di determinare l'andamento temporale della velocità.
L'equazione in questione è del tipo Equazione differenziale del primo ordine non omogenea? mi da "fastidio" quel dt, mi butta fuori strada.
Grazie mille in anticipo
Risposte
Puoi ripensare l'equazione come
$v'=-A v+B$
per cui risulta lineare e non omogenea. Se tutti gli altri simboli sono costanti (e quindi $A$ e $B$ sono costanti) puoi risolverla così:
$v'+Av=B\ \Rightarrow\ (e^{At} v)'=B e^{At}\ \Rightarrow\ v=\frac{B}{A}+k e^{-At}$
dove $k$ è una costante arbitraria che puoi ricavare se sai, per esempio, quanto vale $v(0)=v_0$.
$v'=-A v+B$
per cui risulta lineare e non omogenea. Se tutti gli altri simboli sono costanti (e quindi $A$ e $B$ sono costanti) puoi risolverla così:
$v'+Av=B\ \Rightarrow\ (e^{At} v)'=B e^{At}\ \Rightarrow\ v=\frac{B}{A}+k e^{-At}$
dove $k$ è una costante arbitraria che puoi ricavare se sai, per esempio, quanto vale $v(0)=v_0$.
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta. ho ancora delle domande però, scusami.
nell'esponente della e non dovrebbe esserci quella funzione che derivata mi dia appunto la A dell'equazione v'=−Av+B? o forse c'entra il fatto che tutti i simboli che costituiscono la A sono costanti? la t invece come l'hai trattata?
nell'esponente della e non dovrebbe esserci quella funzione che derivata mi dia appunto la A dell'equazione v'=−Av+B? o forse c'entra il fatto che tutti i simboli che costituiscono la A sono costanti? la t invece come l'hai trattata?
La derivata di $e^{At}$ è $A e^{At}$, per questo ho usato quell'esponenziale. La $t$ è la variabile indipendente, come avrei dovuto trattarla? Sinceramente non capisco il senso della tua domanda.
EDIT: rileggendo meglio il primo post mi stavo chiedendo una cosa: ma tu lo sai che ${df}/{dt}$ è una notazione per $f'(t)$?
EDIT: rileggendo meglio il primo post mi stavo chiedendo una cosa: ma tu lo sai che ${df}/{dt}$ è una notazione per $f'(t)$?
Sisi quello lo sapevo, non riflettevo abbastanza, adesso mi è tutto chiaro. Ho cercato di fare ogni passaggio e sono arrivato alla tua stessa soluzione. Grazie mille e scusa per la domanda banale
Figurati, l'importante è che sia chiaro.
Per maggiori informazioni sul metodo usato da ciampax:
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Linear.aspx
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Linear.aspx
Grazie
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