Risoluzione equazioni diff lineari
Ciao a tutti 
sto studiando le equazioni differenziali lineari del I ordine e la mia prof. ci ha spiegato 2 tecniche di risoluzione,una è il metodo del fattore integrante e l'altro,invece,non sono proprio riuscita a capirlo,qualcuno mi può dare una mano?
sto studiando le equazioni differenziali lineari del I ordine e la mia prof. ci ha spiegato 2 tecniche di risoluzione,una è il metodo del fattore integrante e l'altro,invece,non sono proprio riuscita a capirlo,qualcuno mi può dare una mano?
Risposte
A quale metodo ti riferisci? Separazione delle variabili?
La mia prof ha detto che con questo metodo occorre trovare l'integrale dell'omogenea associata e poi l'integrale dell'equazione non omogenea.Però non gli ha dato un nome in particolare!
Forse si riferisce al metodo della variazione delle costanti? In questo metodo, data l'equazione differenziale:
\[y'(t) = a(t)y(t) + b(t)\]
Si calcola prima la soluzione dell'equazione omogenea:
\[y'(t) = a(t)y(t)\]
nella forma:
\[\varphi(t) = e^{A(t)}c\]
Ora si fa una guess e si suppone che se \(\varphi(t)\) è soluzione dell'omogenea allora la soluzione della non omogenea di partenza sia nella forma:
\[\psi(t) = e^{A(t)}c(t)\]
Come vedi abbiamo "fatto variare" la costante \(c\) che ora è una funzione di \(t\).
Imponiamo quindi che \(\psi\) sia soluzione:
\[\psi '(t) = a(t)e^{A(t)}c(t) + e^{A(t)}c'(t) = a(t)e^{A(t)}c(t) + b(t)\]
Da cui segue:
\[e^{A(t)}c'(t) = b(t)\]
che integrando diviene:
\[c(t) = \int e^{-A(t)}b(t)\]
Unendo il tutto:
\[\psi(t) = e^{A(t)}\int e^{-A(t)}b(t)\]
Era questo che hai visto a lezione?
\[y'(t) = a(t)y(t) + b(t)\]
Si calcola prima la soluzione dell'equazione omogenea:
\[y'(t) = a(t)y(t)\]
nella forma:
\[\varphi(t) = e^{A(t)}c\]
Ora si fa una guess e si suppone che se \(\varphi(t)\) è soluzione dell'omogenea allora la soluzione della non omogenea di partenza sia nella forma:
\[\psi(t) = e^{A(t)}c(t)\]
Come vedi abbiamo "fatto variare" la costante \(c\) che ora è una funzione di \(t\).
Imponiamo quindi che \(\psi\) sia soluzione:
\[\psi '(t) = a(t)e^{A(t)}c(t) + e^{A(t)}c'(t) = a(t)e^{A(t)}c(t) + b(t)\]
Da cui segue:
\[e^{A(t)}c'(t) = b(t)\]
che integrando diviene:
\[c(t) = \int e^{-A(t)}b(t)\]
Unendo il tutto:
\[\psi(t) = e^{A(t)}\int e^{-A(t)}b(t)\]
Era questo che hai visto a lezione?
Sì,era esattamente questo,grazie ! Solo una cosa non ho capito,alla fine per trovare la soluzione dell'equazione dif bisogna sommare la soluzione dell'eq omogenea e di quella non omogenea,cioè $ψ(t)$ e$ ϕ(t)$?
! Solo una cosa non ho capito,alla fine per trovare la soluzione dell'equazione dif bisogna sommare la soluzione dell'eq omogenea e di quella non omogenea,cioè $ψ(t)$ e$ ϕ(t)$?
Quelli scritti prima sono integrali generali, che sono famiglie di soluzioni. Infatti se \(\psi(t)\) è soluzione anche \(\psi(t) + c\), per ogni costante \(c\), lo sarà. Pensa se vuoi all'analogia con gli integrali (che in realtà è un caso particolare di questo): finora abbiamo considerato integrali indefiniti, ovvero famiglie di soluzioni al variare della costante \(c\).
Se invece non vogliamo una famiglia di soluzioni ma una precisa soluzione soddisfacente certi criteri dobbiamo imporre certi vincoli su quella costante. Il vincolo più comune è la condizione iniziale, che da luogo al così detto problema di Cauchy (P.d.C.):
\[\begin{cases} y'(t) = a(t)y(t) + b(t) \\ y(\tau) = \xi \end{cases}\]
Pensiamo per un momento ancora al caso dell'integrazione che più conosciamo, se abbiamo
\[\begin{cases} y'(t) = f(t) \\ y(\tau) = \xi \end{cases}\]
La famiglia di soluzioni sarà:
\[\psi(t) = \int f(t)dt + c =: F(t) + c\]
Ma la soluzione particolare sarà:
\[\psi(t;\tau,\xi) = \xi + \int_\tau^t f(x)dx \]
Torniamo ora al nostro P.d.C., per ottenere la soluzione particolare soddisfacente la condizione \(y(\tau) = \xi\) dovremmo porre la costante \(c\) pari a \(e^{A(t)}\xi\), che non è altro che la soluzione dell'equazione omogenea, ottenendo alla fine:
\[\psi(t;\tau,\xi) = e^{A(t-\tau)}\xi + e^{A(t-\tau)}\int_\tau^t e^{A(t-x)}b(x)dx \]
Ho saltato un po' di passaggi che puoi trovare su un libro di testo.
Quindi la risposta è in parte sì, per ottenere la soluzione di un P.d.C. bisogna sommare soluzione omogenea e soluzione particolare.
Se invece non vogliamo una famiglia di soluzioni ma una precisa soluzione soddisfacente certi criteri dobbiamo imporre certi vincoli su quella costante. Il vincolo più comune è la condizione iniziale, che da luogo al così detto problema di Cauchy (P.d.C.):
\[\begin{cases} y'(t) = a(t)y(t) + b(t) \\ y(\tau) = \xi \end{cases}\]
Pensiamo per un momento ancora al caso dell'integrazione che più conosciamo, se abbiamo
\[\begin{cases} y'(t) = f(t) \\ y(\tau) = \xi \end{cases}\]
La famiglia di soluzioni sarà:
\[\psi(t) = \int f(t)dt + c =: F(t) + c\]
Ma la soluzione particolare sarà:
\[\psi(t;\tau,\xi) = \xi + \int_\tau^t f(x)dx \]
Torniamo ora al nostro P.d.C., per ottenere la soluzione particolare soddisfacente la condizione \(y(\tau) = \xi\) dovremmo porre la costante \(c\) pari a \(e^{A(t)}\xi\), che non è altro che la soluzione dell'equazione omogenea, ottenendo alla fine:
\[\psi(t;\tau,\xi) = e^{A(t-\tau)}\xi + e^{A(t-\tau)}\int_\tau^t e^{A(t-x)}b(x)dx \]
Ho saltato un po' di passaggi che puoi trovare su un libro di testo.
Quindi la risposta è in parte sì, per ottenere la soluzione di un P.d.C. bisogna sommare soluzione omogenea e soluzione particolare.
Grazie
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