Risoluzione equazione differenziale non omogenea
vorrei proporvi un esercizio per togliermi un dubbio..
$y'=2x/(1+x^2)y+(x+x^3)senx$
nel risolvere questa equazione ho utilizzato, nel calcolo della soluzione particolare, il metodo della variazione delle costanti..
tuttavia mi rendo conto che poteva essere risolto anche con un altro metodo, che io chiamo delle funzioni simili(in realtà non saprei come meglio chiamarlo)..
il metodo a cui faccio riferimento si applica quando il termine noto è nella forma: $f(x)= e^(betax)[p_m(x)cos alphax+r_k(x)senalphax]$ con $p_m(x)$ e $r_k(x)$ polinomi di grado $m$ e $k$
in tal caso la soluzione particolare è del tipo:
$x^he^(betax)[q_mcosalphax+s_msen alphax]$ dove i polinomi sono di grado max pari al max tra m e k..
arrivo al punto..nel caso dell'esercizio che vi ho proposto avrei avuto una soluzione particolare con due polinomi di terzo grado..ognuno dei quali aveva i quattro coefficienti come incognite..
mi chiedo se sia possibile in questo caso risolvere l'esercizio con tale metodo..avendo domani l'esame non vorrei trovarmi spiazzato nel caso in cui dovessi risolvere un esercizio di questo tipo e con questo metodo..grazie mille
$y'=2x/(1+x^2)y+(x+x^3)senx$
nel risolvere questa equazione ho utilizzato, nel calcolo della soluzione particolare, il metodo della variazione delle costanti..
tuttavia mi rendo conto che poteva essere risolto anche con un altro metodo, che io chiamo delle funzioni simili(in realtà non saprei come meglio chiamarlo)..
il metodo a cui faccio riferimento si applica quando il termine noto è nella forma: $f(x)= e^(betax)[p_m(x)cos alphax+r_k(x)senalphax]$ con $p_m(x)$ e $r_k(x)$ polinomi di grado $m$ e $k$
in tal caso la soluzione particolare è del tipo:
$x^he^(betax)[q_mcosalphax+s_msen alphax]$ dove i polinomi sono di grado max pari al max tra m e k..
arrivo al punto..nel caso dell'esercizio che vi ho proposto avrei avuto una soluzione particolare con due polinomi di terzo grado..ognuno dei quali aveva i quattro coefficienti come incognite..
mi chiedo se sia possibile in questo caso risolvere l'esercizio con tale metodo..avendo domani l'esame non vorrei trovarmi spiazzato nel caso in cui dovessi risolvere un esercizio di questo tipo e con questo metodo..grazie mille
Risposte
Io sinceramente non conosco il metodo della variazione delle costanti, ma quella che hai è una equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea, le cui soluzioni si esprimono tramite una ben nota formula... Sono curioso di sapere come hai fatto 
"Mathematico":
Io sinceramente non conosco il metodo della variazione delle costanti, ma quella che hai è una equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea, le cui soluzioni si esprimono tramite una ben nota formula... Sono curioso di sapere come hai fatto
potrebbe essere che parliamo della stessa cosa..e mi piacerebbe conoscere la famosa formula visto che non è ho vista traccia neanche sul libro..cmq io mi riferisco a questo metodo
essendo un'equazione di primo grado la soluzione particolare è del tipo
$\bar y(x)=beta(x)y(x)$ dove $y(x)$ è la soluzione dell'equzione omogenea associata.
si procede imponendo che:
$y(x)beta'(x)=f(x)$ dove $f(x)$ è il termine noto dell'equazione..integrando gamma rispetto ad x ottengo la soluzione particolare che cercavo..
Non mi torna familiare 
, fammi capire, tu calcoli prima $y°(x)$, soluzione omogenea, e poi trovi la soluzione con particolare con questo metodo? Molto strano... o meglio "ma quanto sono ignorante?"
Anyway: quando ti trovi una equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea del tipo:
$y'(x)+a(x)y(x)= f(x)$ dove $a: I ->RR$ e $f:I->RR$ sono funzioni continue in $I$ aperto di $RR$ allora la famiglia di soluzioni dell'equazione differenziale è:
$y(x)=(e^(-A(x)))* (C+\int f(x) e^(A(x))dx)$
Dove $A(x)$ è una primitiva di $a(x)$ e $C$ è una costante reale. Ti trovi?
Se non ti confondi, prova a risolverlo con questa formula.
[Edit]:Ho commesso un errore di scrittura, ho corretto la formula
, fammi capire, tu calcoli prima $y°(x)$, soluzione omogenea, e poi trovi la soluzione con particolare con questo metodo? Molto strano... o meglio "ma quanto sono ignorante?"Anyway: quando ti trovi una equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea del tipo:
$y'(x)+a(x)y(x)= f(x)$ dove $a: I ->RR$ e $f:I->RR$ sono funzioni continue in $I$ aperto di $RR$ allora la famiglia di soluzioni dell'equazione differenziale è:
$y(x)=(e^(-A(x)))* (C+\int f(x) e^(A(x))dx)$
Dove $A(x)$ è una primitiva di $a(x)$ e $C$ è una costante reale. Ti trovi?
Se non ti confondi, prova a risolverlo con questa formula.
[Edit]:Ho commesso un errore di scrittura, ho corretto la formula
adesso ci provo..comunque visto che non sono bravo a farmi capire c'è wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_del ... e_costanti
cntrone, ti devo avvertire che ho corretto... Spero tu abbia letto il messaggio!
"Mathematico":
cntrone, ti devo avvertire che ho corretto... Spero tu abbia letto il messaggio!
si si..comunque in questo caso il mio metodo era più immediato..tuttavia è sempre meglio conoscerne altri..grazie..
Sì hai ragione, il tuo metodo è immediato. Ho capito qual è, no grazie a te perchè mi hai fatto tornare alla mente un procedimento che non ricordavo più (in realtà lo conoscevo sotto il nome di metodo di Lagrange, ma l'ho utilizzato pochissimo).
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