Risoluzione equazione differenziale esatta

[Albertus16]

Ciao a tutti.

Ho qualche problema con un'equazione differenziale esatta del tipo: $y' = - (x+4y)/(2x^2 +y)$

Vedo che è definita in $RR^2 - {(0,0)}$, cioè tranne l'origine. Esatto?
Quindi la forma differenziale associata all'equazione è : $\omega (x,y) = (x+4y)*dx + (2x^2 +y)*dy$

La forma differenziale, come ho verificato con le derivate parziali, è chiusa. Siccome l'equazione differenziale non è definita in un insieme stellato, allora $\omega$ non dovrebbe essere esatta.

Secondo il mio libro di analisi, si deve trovare un fattore integrante.

Un fattore integrante del tipo $\mu (x,y) = \varphi (x)$ tale che la forma differenziale del tipo $\Omega(x,y) = (x+4y)*(\varphi (x))*dx + (2x^2 +y)*(\varphi (x))*dy$ sia esatta.
Si impongono di nuovo le condizioni di simmetria per avere $\varphi ' (x)$ e quindi trovare $\varphi (x)$. Ma trovo che $\varphi ' (x) = 0$, quindi non arrivo a niente, cioè $\varphi (x) = 1$, ed ho di nuovo la forma differenziale precedente. Sono di nuovo al punto di partenza.

Gentilmente qualcuno può indicarmi, per favore, se il mio procedimento è esatto o c'è qualcosa da rivedere?

Grazie, a presto!

[mazzy89-votailprof]

"Albertus16":Ciao a tutti.

Ho qualche problema con un'equazione differenziale esatta del tipo: $y' = - (x+4y)/(2x^2 +y)$

Vedo che è definita in $RR^2 - {(0,0)}$, cioè tranne l'origine. Esatto?
Quindi la forma differenziale associata all'equazione è : $\omega (x,y) = (x+4y)*dx + (2x^2 +y)*dy$

La forma differenziale, come ho verificato con le derivate parziali, è chiusa. Siccome l'equazione differenziale non è definita in un insieme stellato, allora $\omega$ non dovrebbe essere esatta.

Secondo il mio libro di analisi, si deve trovare un fattore integrante.

Un fattore integrante del tipo $\mu (x,y) = \varphi (x)$ tale che la forma differenziale del tipo $\Omega(x,y) = (x+4y)*(\varphi (x))*dx + (2x^2 +y)*(\varphi (x))*dy$ sia esatta.
Si impongono di nuovo le condizioni di simmetria per avere $\varphi ' (x)$ e quindi trovare $\varphi (x)$. Ma trovo che $\varphi ' (x) = 0$, quindi non arrivo a niente, cioè $\varphi (x) = 1$, ed ho di nuovo la forma differenziale precedente. Sono di nuovo al punto di partenza.

Gentilmente qualcuno può indicarmi, per favore, se il mio procedimento è esatto o c'è qualcosa da rivedere?

Grazie, a presto!

guarda secondo me c'è un errore di fondo.tu dici che l'equazione differenziale non è definita in un insieme stellato ma a te importa che la forma differenziale sia definita in uno stellato e non l'equazione differenziale.quindi $\Omega$ è definita in uno stellato, è chiusa segue quindi che è esatta.Da ciò possiamo dire che la nostra equazione differenziale è Esatta

[Edit]
Presumo che ieri hai finito il corso di Analisi 2 e il prof ha fatto un unico esercizio molto simile. Si aveva un'equazione differenziale di partenza, scriveva la forma differenziale su di quella faceva il ragionamento

[Albertus16]

Grazie mazzy89. Si, a me importa che la forma differenziale sia definita in uno stellato. Per il fattore integrante, $\Omega$ deve essere definita in uno stellato, altrimenti non potrei imporre che sia esatta. Su questo ci sono. Forse sbaglio l'uso del fattore integrante, non so. Dovrei trovarmi questo fattore integrante per dire che $\Omega$ sia esatta. Ho provato a calcolarmi l'integrale della forma diff. in una curva, dovrebbe risultare 0 se $\omega$ è esatta, ma così non è.
Che fare?

Si, ieri ho seguito, P.Z. ha terminato il corso, ha fatto un solo esercizio sull'eq. diff. esatte, molto semplice. Non ha mai menzionato l'uso del fattore integrante per la forme diff. non esatte, se ne parla solo sul libro. Per questo motivo, non so andare avanti, mi trovo bloccato.