Risoluzione equazione differenziale del primo ordine

[xavio310]

Salve a tutti! Avrei bisogno di un suggerimento sulla risoluzione del seguente problema di Cauchy:
$$
\begin{cases}
x \sqrt{1+y^2(x)}+y(x) y'(x) \sqrt{1+x^2}=0\\
y(0)=0
\end{cases}
$$
Procedo separando le variabili e integrando
$$\int_{0}^{y(x)}\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} dy= \int_{0}^{x}-\frac{u}{ \sqrt{1+x^2}} dx$$
$$\frac{1}{2}\int_{0}^{y(x)}\frac{2y}{\sqrt{1+y^2}} dy=-\frac{1}{2} \int_{0}^{x}\frac{2u}{ \sqrt{1+x^2}} dx$$
$$\sqrt{1+y^2(x)}-1=1-\sqrt{1+x^2}$$
$$y^2(x)=3+(1+x^2)-4-\sqrt{1+x^2} \to y(x)=\pm \sqrt{3+(1+x^2)-4-\sqrt{1+x^2}}$$
Ottengo due soluzioni e ciò è impossibile perché la soluzione deve essere una. Nel modo in cui ho svolto dove sbaglio?

[seb1]

Perché la soluzione deve essere unica?
(Occhio che c'è un segno meno di troppo alla fine.)

[xavio310]

Deve essere unica per il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy, o sbaglio?

[pilloeffe]

Ciao xavio310,

"xavio310":Deve essere unica per il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy, o sbaglio?

La seconda che hai detto...
(cit. da Quelo - Corrado Guzzanti - https://www.youtube.com/watch?v=jYQWVnKEFRk)

Nei problemi di Cauchy

${(y'(x) = f(x, y(x))),(y(x_0) = y_0):}$

se non si richiede che $f$ goda di qualche proprietà di regolarità, non ci si può aspettare l'unicità della soluzione.
Un esempio classico è proprio il seguente:

${(y'(x) = 3/2 root[3]{y(x)}),(y(0) = 0):}$

Si può verificare facilmente che tale problema ha almeno tre soluzioni:

$y_1(x) = 0 $

$y_2(x) = {(x^{3/2} \text{ per } x \ge 0),(0 \text{ per } x < 0):}$

$y_3(x) = - y_2(x) $

[xavio310]

Chiaro! Grazie mille =)