Risoluzione equazione differenziale del pendolo
Buongiorno a tutti ragazzi!
Che modo migliore c'è di cominciare la domenica con un bel topic sul forum matematicamente.it!
Ho un dubbio che riguarda l'equazione differenziale del pendolo, ovvero un'equazione nella forma:
[tex]\ddot \theta - {g \over l} \sin \theta = 0[/tex]
Parlando con il professore di fisica mi ha detto (premetto che essendo al primo anno non ho ancora affrontato la teoria delle edo) che non c'è altro modo di risolvere questa equazione se non utilizzando approssimazioni (chiaramente è possibile "linearizzarla" con Taylor) oppure ricorrendo al calcolo numerico.
Ieri invece googlando un po' ho visto che utilizzando della funzioni particolari e possibile giungere ad una soluzione analitica. Ad esempio wolframalpha utilizza la funzione di Jacobi.
E' quindi scorretto dire che quest'equazione è risolvibile solamente numericamente (o approssimando), oppure in qualche modo la complessità di queste soluzioni è tale da giustificare in parte la precedente affermazione?
Grazie ragazzi,
Marco
Che modo migliore c'è di cominciare la domenica con un bel topic sul forum matematicamente.it!
Ho un dubbio che riguarda l'equazione differenziale del pendolo, ovvero un'equazione nella forma:
[tex]\ddot \theta - {g \over l} \sin \theta = 0[/tex]
Parlando con il professore di fisica mi ha detto (premetto che essendo al primo anno non ho ancora affrontato la teoria delle edo) che non c'è altro modo di risolvere questa equazione se non utilizzando approssimazioni (chiaramente è possibile "linearizzarla" con Taylor) oppure ricorrendo al calcolo numerico.
Ieri invece googlando un po' ho visto che utilizzando della funzioni particolari e possibile giungere ad una soluzione analitica. Ad esempio wolframalpha utilizza la funzione di Jacobi.
E' quindi scorretto dire che quest'equazione è risolvibile solamente numericamente (o approssimando), oppure in qualche modo la complessità di queste soluzioni è tale da giustificare in parte la precedente affermazione?
Grazie ragazzi,
Marco
Risposte
La EDO del pendolo non si può risolvere in termini di funzioni elementari. A questo si riferiva il tuo prof quando accennava sll'impossibilità di risolvere il problema se non per approssimazioni.
Immaginavo fosse così.
Deduco quindi quelle strane, e per me oscure, funzioni non siano elementari.
Ma quindi delle applicazioni si calcolano numericamente giusto?
E' che vederle così come le usa wolfram hanno un aria così innocente e "pulita"...
Ma sono un argomento che si tratta in quale branca/corso della matematica?
Deduco quindi quelle strane, e per me oscure, funzioni non siano elementari.
Ma quindi delle applicazioni si calcolano numericamente giusto?
E' che vederle così come le usa wolfram hanno un aria così innocente e "pulita"...
Ma sono un argomento che si tratta in quale branca/corso della matematica?
"Emar":
Deduco quindi quelle strane, e per me oscure, funzioni non siano elementari.
[...]
Ma sono un argomento che si tratta in quale branca/corso della matematica?
Eccerto
le funzioni elementari sono tutte quelle che conosci tu! (dico cosi supponendo che tu faccia ingegneria e sia al primo anno)Se parli delle funzioni "non elementari" mi pare ovvio, ma non sono la persona adatta a risponderti
sicuramente può parlartene Gugo in maniera esaustiva...Se invece ti riferisci alle EDO tipo quelle del pendolo, anche qui la risposta è ovviamente affermativa
so che a Matematica hanno un corso che si chiama proprio "Equazioni differenziali" 
"Plepp":
Se invece ti riferisci alle EDO tipo quelle del pendolo, anche qui la risposta è ovviamente affermativa
No. Intendevo la trattazione di queste "funzioni ellittiche".Frequentando ingegneria matematica so che nei prossimi anni avro' una miriade di corsi sulle equazioni differenziali e sul calcolo numerico di esse, ma volevo capire appunto queste funzioni dove si studiavano, se ad analisi funzionale o... boh!
"Emar":
[quote="Plepp"]
Se invece ti riferisci alle EDO tipo quelle del pendolo, anche qui la risposta è ovviamente affermativa
No. Intendevo la trattazione di queste "funzioni ellittiche".Frequentando ingegneria matematica so che nei prossimi anni avro' una miriade di corsi sulle equazioni differenziali e sul calcolo numerico di esse, ma volevo capire appunto queste funzioni dove si studiavano, se ad analisi funzionale o... boh![/quote]
Nooo, niente Analisi Funzionale (che tratta argomenti più astratti).
Tantissimi anni fa, alle funzioni speciali era dedicato parte del programma di Istituzioni di Analisi Superiore o di Metodi Matematici per la Fisica; c'è tutto un libro di Tricomi (di cui consiglio ampiamente tutti i testi, poiché sono didatticamente molto interessanti, soprattutto per chi si interessa di Matematica Applicata) dal titolo Istituzioni di Analisi Superiore che, se non erro, è dedicato proprio all'analisi delle funzioni speciali.
Da un po' di tempo a questa parte, però, questi argomenti hanno lasciato spazio ad altre cose e non ve n'è quasi più tracia in nessun corso per Matematici.
Probabilmente questi argomenti sono trattati un po' di più dai Fisici, ma non so dirti niente di preciso.
Grazie mille della risposta!
PS Tra l'altro proprio ieri mi è capitata tra le mani la collana Analisi Superiore di Smirnov e ho trovato numerosi capitoli dedicati a queste cose
PS Tra l'altro proprio ieri mi è capitata tra le mani la collana Analisi Superiore di Smirnov e ho trovato numerosi capitoli dedicati a queste cose
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