Risoluzione equazione differenziale
Devo risolvere questa equazione:
$x''+\omega^2 x=\alpha cos(\omega t)$
A questo punto trovo $\bar x(t)=C_1 cos (\omega t)+C_2 sen (\omega t)$ dell'equazione omogenea associata. Come faccio però a trovare la $ \hat x(t) $ ? Io avevo pensato di porre $ \hat x(t)= A $ trovando $ 0 + \omega^2 A= \alpha cos(\omega t) $ quindi $ A= [\alpha cos(\omega t)]/ \omega $. Da qui $ x(t)= \bar x(t) + \hat x(t)= C_1 cos( \omega t ) + C_2 sen (\omega t) + (\alpha cos t)/ \omega$. Mi chiedo quindi, sono giusti i miei passaggi, oppure sono delle gran cavolate?
Attendo delucidazioni da chi ne sa più di me 
$x''+\omega^2 x=\alpha cos(\omega t)$
A questo punto trovo $\bar x(t)=C_1 cos (\omega t)+C_2 sen (\omega t)$ dell'equazione omogenea associata. Come faccio però a trovare la $ \hat x(t) $ ? Io avevo pensato di porre $ \hat x(t)= A $ trovando $ 0 + \omega^2 A= \alpha cos(\omega t) $ quindi $ A= [\alpha cos(\omega t)]/ \omega $. Da qui $ x(t)= \bar x(t) + \hat x(t)= C_1 cos( \omega t ) + C_2 sen (\omega t) + (\alpha cos t)/ \omega$. Mi chiedo quindi, sono giusti i miei passaggi, oppure sono delle gran cavolate?
Attendo delucidazioni da chi ne sa più di me
Risposte
Ciao
quando il termine non omogeneo è del tipo:
[tex]\displaystyle f(t) = e^{\alpha t}(k_{1} sin(\beta t) + k_{2} cos (\beta t))[/tex]
con $k_1$ e $k_2$ che possono anche essere nulle (come lo è $k_1$ nel tuo caso)
distingui due casi:
se $alpha \pm i beta$ sono soluzione dell'omogenea associata allora
la funzione [tex]\hat{x} = t^{m} e^{\alpha t}(A sin(\beta t ) + B cos(\beta t))[/tex]
dove $m$ è la molteplicità della soluzione
se $alpha \pm i beta$ non sono soluzione dell'omogenea associata allora
la funzione [tex]\hat{x} = e^{\alpha t}(A sin(\beta t ) + B cos(\beta t))[/tex]
in entrambi i casi $A$ e $B$ sono costanti che devi determinare con le condizioni al contorno (se le hai)
spero di esserti stato di aiuto
se ti serve ancora aiuto chiedi pure
quando il termine non omogeneo è del tipo:
[tex]\displaystyle f(t) = e^{\alpha t}(k_{1} sin(\beta t) + k_{2} cos (\beta t))[/tex]
con $k_1$ e $k_2$ che possono anche essere nulle (come lo è $k_1$ nel tuo caso)
distingui due casi:
se $alpha \pm i beta$ sono soluzione dell'omogenea associata allora
la funzione [tex]\hat{x} = t^{m} e^{\alpha t}(A sin(\beta t ) + B cos(\beta t))[/tex]
dove $m$ è la molteplicità della soluzione
se $alpha \pm i beta$ non sono soluzione dell'omogenea associata allora
la funzione [tex]\hat{x} = e^{\alpha t}(A sin(\beta t ) + B cos(\beta t))[/tex]
in entrambi i casi $A$ e $B$ sono costanti che devi determinare con le condizioni al contorno (se le hai)
spero di esserti stato di aiuto
se ti serve ancora aiuto chiedi pure
Intanto ti ringrazio davvero tanto per la risposta e la spiegazione. Sbaglio o questo è il metodo euristico? Comunque, se non ho capito male, l'integrale generale dell'equazione sarebbe sempre: $x(t)= \bar x(t) + \hat x(t)$, da qui in poi posso imporre le condizioni iniziali giusto?
Per quanto riguarda il metodo euristico, credo che quello riguardi il metodo numerico di soluzione delle equazioni
per la seconda domanda, la risposta è "si"
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Grazie mille di nuovo, sei stato gentilissimo!
Figurati... quando posso aiuto volentieri.
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