Risoluzione equazione differenziale
ragazzi ho la seguente equazione differenziale:
$2y'' + 3y' - y = e^x$
mi sono trovato l'omogenea associata
$2y'' + 3y' - y = 0 $
e quindi
$2\lambda" + 3\lambda' - \lambda = 0$
risolvendo mi trovo due valori di lambda cioè
$(-3- sqrt(13) )/4$ e $(-3 + sqrt(13) )/4$
ora mi calcolo:
$y1(x) = e^((-3- sqrt(13)*x )/4)$ e $y2(x) = e^((-3+ sqrt(13)*x)/4)$
quindi:
$y = C1 e^((-3- sqrt(13)*x )/4) + C2 e^((-3+ sqrt(13)*x)/4)$
Da qui si nota che $lambda$ non è soluzione dell'equazione caratteristica. Quindi devo applicare $\bar{y} = x^n e^(lambda * x) * POLINOMIO$
da qui??? Come devo procedere?
$2y'' + 3y' - y = e^x$
mi sono trovato l'omogenea associata
$2y'' + 3y' - y = 0 $
e quindi
$2\lambda" + 3\lambda' - \lambda = 0$
risolvendo mi trovo due valori di lambda cioè
$(-3- sqrt(13) )/4$ e $(-3 + sqrt(13) )/4$
ora mi calcolo:
$y1(x) = e^((-3- sqrt(13)*x )/4)$ e $y2(x) = e^((-3+ sqrt(13)*x)/4)$
quindi:
$y = C1 e^((-3- sqrt(13)*x )/4) + C2 e^((-3+ sqrt(13)*x)/4)$
Da qui si nota che $lambda$ non è soluzione dell'equazione caratteristica. Quindi devo applicare $\bar{y} = x^n e^(lambda * x) * POLINOMIO$
da qui??? Come devo procedere?
Risposte
Prima di tutto le radici sono :$(-3+-sqrt(17))/4 $ .
Quindi $y_1 = e^((-3+sqrt(17))x/4) ; y_2 = e^((-3-sqrt(17))x/4) $ .
Si tratta ora di trovare una soluzione particolare dell'equazione completa, che ha come termine noto $e^x $ .
Poichè $1 ne (-3+-sqrt(17))/4 $ allora la soluzione particolare sarà del tipo$ y=Ae^x $ : sostituendo nell'equazione originale si ottiene : $ 2Ae^x+3Ae^x-Ae^x = e^x $ da cui $A = 1/4 $.
La soluzione generale è quindi $ C_1 e^((-3+sqrt(17))x/4) +C_2e^((-3-sqrt(17))x/4) +(1/4)e^x $.
Quindi $y_1 = e^((-3+sqrt(17))x/4) ; y_2 = e^((-3-sqrt(17))x/4) $ .
Si tratta ora di trovare una soluzione particolare dell'equazione completa, che ha come termine noto $e^x $ .
Poichè $1 ne (-3+-sqrt(17))/4 $ allora la soluzione particolare sarà del tipo$ y=Ae^x $ : sostituendo nell'equazione originale si ottiene : $ 2Ae^x+3Ae^x-Ae^x = e^x $ da cui $A = 1/4 $.
La soluzione generale è quindi $ C_1 e^((-3+sqrt(17))x/4) +C_2e^((-3-sqrt(17))x/4) +(1/4)e^x $.
grazie mille.....
"Camillo":
...
Poichè $1 ne (-3+-sqrt(17))/4 $ allora la soluzione particolare sarà del tipo$ y=Ae^x $ ...
Perché? Io stavo usando il metodo di variazione delle costanti, che oggettivamente è un macello in termini di conti. Cosa ti permette di dire che la soluzione debba avere necessariamente quella forma? grazie!
L'esperienza... E Camillo ne ha tanta. 
Seriamente, e' noto che, se il secondo membro e' di un tipo particolare, la soluzione va cercata fra quelle.
Sono cose note, se prendi un buon
libro sulle equazioni differenziali le trovi.
Mi ricordo almeno un lungo thread in cui se ne era discusso. Prova magari anche a cercare sul forum.
Trovato! Vedi in particolare qui:
https://www.matematicamente.it/forum/equ ... tml#213320
ma tutto il thread magari merita una lettura (casino da me creato compreso).
Seriamente, e' noto che, se il secondo membro e' di un tipo particolare, la soluzione va cercata fra quelle.
Sono cose note, se prendi un buon
libro sulle equazioni differenziali le trovi.Mi ricordo almeno un lungo thread in cui se ne era discusso. Prova magari anche a cercare sul forum.
Trovato! Vedi in particolare qui:
https://www.matematicamente.it/forum/equ ... tml#213320
ma tutto il thread magari merita una lettura (casino da me creato compreso).
Io per vedere che forma deve avere la funzione da cercare vedo sulle tabelle,non me le ricodo a memoria
"stokesNavier":
Io per vedere che forma deve avere la funzione da cercare vedo sulle tabelle,non me le ricodo a memoria
Scusa ma cosa studi? (ing, fis, mat? o altro?)
Ingegneria!
"stokesNavier":
Ingegneria!
Io le equazioni differenziali le ho fatte al liceo,
non sono un argomento difficile (parlo di quelle lin. a coeff. costanti
ovviamente..).
Devi solo studiare un po'!
"Fioravante Patrone":
...un buon libro sulle equazioni differenziali...
touché!
Forse dovevo essere un po' più esplicito e dire da dove saltasse fuori quel numero $ 1 $ , non è altro che $e^(1*x) $ .
Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono diverse da $ 1 $ .
Allora le funzioni $y_1 $ ,$ y_2 $ , $Ae^x $ sono linearmente indipendenti e la soluzione generale del problema proposto è data dalla combinazione lineare delle stesse.
Se invece $1 $ fosse stato uno delle radici dell'equazione caratteristica allora le 3 funzioni citatet sopra non sono più linearmente indipendenti : invece di $Ae^x $ bisogna pensare a $Axe^x $ etc ...
Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono diverse da $ 1 $ .
Allora le funzioni $y_1 $ ,$ y_2 $ , $Ae^x $ sono linearmente indipendenti e la soluzione generale del problema proposto è data dalla combinazione lineare delle stesse.
Se invece $1 $ fosse stato uno delle radici dell'equazione caratteristica allora le 3 funzioni citatet sopra non sono più linearmente indipendenti : invece di $Ae^x $ bisogna pensare a $Axe^x $ etc ...
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