Risoluzione equazione di quarto grado
Scusate la mia nera ignoranza, ma qual è il metodo per risolvere un'equazione di quarto grado? In particolare come faccio a trovare le radici di questo polinomio? 
$t^4+1 = 0$
Avendo radici complesse, il metodo di Ruffini non sembra essere utile e dunque come procedere?
Grazie anticipatamente per l'aiuto!
$t^4+1 = 0$
Avendo radici complesse, il metodo di Ruffini non sembra essere utile e dunque come procedere?
Grazie anticipatamente per l'aiuto!
Risposte
Se poni $t = \rho e^{j \theta}$, e osservi che $-1 = e^{j \pi}$, allora l'equazione diventa
$\rho^4 e^{4 j \theta} = e^{j \pi}$
e le soluzioni si trovano per
$\rho = 1$
$4 \theta = \pi + 2 k \pi \implies \theta = \frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2}$, $k = 0,1,2,3$.
$\rho^4 e^{4 j \theta} = e^{j \pi}$
e le soluzioni si trovano per
$\rho = 1$
$4 \theta = \pi + 2 k \pi \implies \theta = \frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2}$, $k = 0,1,2,3$.
@ Tipper: perdona la mia curiosità da ignorante...
se $rho ne 1$?
se $rho ne 1$?
Non ho capito la domanda... La soluzione deve avere necessariamente $\rho = 1$...
Non è che non hai capito la domanda sono io che non ho saputo farla...non ho la più pallida idea di come si risolvino quelle equazioni e allora ho preso quel $rho$ come un parametro da discutere...chiedo scusa 
P.S.: Quando hai tempo e voglia, potresti spiegarmi perchè deve essere $rho=1$?
P.S.: Quando hai tempo e voglia, potresti spiegarmi perchè deve essere $rho=1$?
Non ti devi mica scusare di nulla. 
Un numero complesso si può scrivere in modulo e fase in questo modo:
$\rho \cdot e^{j \theta}$
dove $\rho > 0$ è il modulo (se $\rho = 0$ la fase non è definita), e $\theta \in [0, 2 \pi]$ (od ogni altro intervallo $[a,b]$ t.c. $b - a = 2 \pi$) è la fase. Se si devono ricercare soluzioni complesse, allora $t \in \mathbb{C}$, e si pu; scrivere
$t = \rho e^{j \theta}$
con $\rho$ e $\theta$ da determinare. Il numero $-1$, ha modulo $1$ e fase $\pi$, pertanto
$-1 = 1 \cdot e^{j \pi}$
l'equazione iniziale quindi equivale a
$\rho^4 e^{j 4 \theta} = 1 e^{j \pi}$
e si risolve ponendo
$\rho^4 = 1$
e
$4 \theta = \pi + 2 k \pi$, $k = 0,1,2,3$
Un numero complesso si può scrivere in modulo e fase in questo modo:
$\rho \cdot e^{j \theta}$
dove $\rho > 0$ è il modulo (se $\rho = 0$ la fase non è definita), e $\theta \in [0, 2 \pi]$ (od ogni altro intervallo $[a,b]$ t.c. $b - a = 2 \pi$) è la fase. Se si devono ricercare soluzioni complesse, allora $t \in \mathbb{C}$, e si pu; scrivere
$t = \rho e^{j \theta}$
con $\rho$ e $\theta$ da determinare. Il numero $-1$, ha modulo $1$ e fase $\pi$, pertanto
$-1 = 1 \cdot e^{j \pi}$
l'equazione iniziale quindi equivale a
$\rho^4 e^{j 4 \theta} = 1 e^{j \pi}$
e si risolve ponendo
$\rho^4 = 1$
e
$4 \theta = \pi + 2 k \pi$, $k = 0,1,2,3$
OK...Grazie Mille
"WiZaRd":
Non è che non hai capito la domanda sono io che non ho saputo farla...non ho la più pallida idea di come si risolvino quelle equazioni e allora ho preso quel $rho$ come un parametro da discutere...chiedo scusa
P.S.: Quando hai tempo e voglia, potresti spiegarmi perchè deve essere $rho=1$?
Puoi provare anche ragionando per assurdo, concentrandoti solo sul modulo di un numero complesso.
Francesco Daddi
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