Risoluzione equazione complessa
Buongiorno a tutti!
Mi ritrovo con questa equazione complessa: [tex]z^3=\bar{z}|z|[/tex]
ho provato a sostituire a [tex]z=a+ib, \bar{z}=a-ib[/tex] e [tex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] ma non riesco ad arrivare alla fine.
Grazie.
Mi ritrovo con questa equazione complessa: [tex]z^3=\bar{z}|z|[/tex]
ho provato a sostituire a [tex]z=a+ib, \bar{z}=a-ib[/tex] e [tex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] ma non riesco ad arrivare alla fine.
Grazie.
Risposte
Se sostituisci la forma cartesiana, ottieni potenze molto alte e non ti conviene. C'è una forma più utile da poter utilizzare in questo caso.
e potresti anche dirmela per favore? ahha 
Vista l'ora, sì. Ti conviene usare la forma polare/trigonometrica del numero complesso
$z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$
dal momento che
$\bar{z}=\rho e^{-\i\theta}=\rho(\cos\theta-i\sin\theta)$
$z^3=\rho^3 e^{3i\theta}=\rho^3(\cos(3\theta)+i\sin(3\theta))$
$|z|=\rho$
$z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$
dal momento che
$\bar{z}=\rho e^{-\i\theta}=\rho(\cos\theta-i\sin\theta)$
$z^3=\rho^3 e^{3i\theta}=\rho^3(\cos(3\theta)+i\sin(3\theta))$
$|z|=\rho$
quindi l'equzione [tex]z^3=|z|\bar{z}[/tex] diventa [tex]\rho^3(\cos(3\theta)+i\sin(3\theta))=\rho*\rho(\cos(\theta)-i\sin(\theta))[/tex]? o sbaglio?
quindi il passo successivo è moltiplicare i due [tex]\rho[/tex] a secondo membro e semplificarli con il [tex]\rho^3[/tex] del primo membro cosi risulta [tex]\rho(\cos(3\theta)+i\sin(3\theta))=\cos(\theta)-i\sin(\theta)[/tex] giusto? ed ora? qual'è il passo successivo?
quindi il passo successivo è moltiplicare i due [tex]\rho[/tex] a secondo membro e semplificarli con il [tex]\rho^3[/tex] del primo membro cosi risulta [tex]\rho(\cos(3\theta)+i\sin(3\theta))=\cos(\theta)-i\sin(\theta)[/tex] giusto? ed ora? qual'è il passo successivo?
Uguagliare parte reale e parte immaginaria....
in questo modo? [tex]\begin{cases}
\rho(\cos(3\theta))=\cos(\theta) \\
\rho i\sin(3\theta)=-i\sin(\theta) \\
\end{cases}[/tex]
\rho(\cos(3\theta))=\cos(\theta) \\
\rho i\sin(3\theta)=-i\sin(\theta) \\
\end{cases}[/tex]
Sì. Puoi scrivere le funzioni trigonometriche di $3\theta$ come funzioni di $\theta$ e semplificare un po' di cose, facendo le giuste osservazioni. Comunque, io avrei prima lavorato con la forma esponenziale e poi sarei passato a quella trigonometrica, anche se in sostanza le cose non cambiano.
ho provato ad andare avanti dopo quel passo, ma non so come gestire le due equazioni. Come potrei fare? grazie
Partiamo dalla seconda, che va scritta come $\rho\sin(3\theta)=-\sin(theta)$. Ora
$\sin(3\theta)=\sin(\theta+2\theta)=\sin\theta\cos(2\theta)+\sin(2\theta)\cos\theta=\sin\theta\cos(2\theta)+2\sin\theta\cos^2\theta=$
$=\sin\theta(\cos(2theta)+2\cos^2\theta)$
e quindi
$\sin\theta[\rho(\cos(2theta)+2\cos^2\theta)+1]=0$
Ne segue che l'equazione si scompone nelle due equazioni seguenti
$\sin\theta=0,\qquad \rho(4\cos^2\theta-1)+1=0$
A questo punto, a seconda dei valori determinati da queste due equazioni, sostituendo nella prima trovi le soluzioni.
$\sin(3\theta)=\sin(\theta+2\theta)=\sin\theta\cos(2\theta)+\sin(2\theta)\cos\theta=\sin\theta\cos(2\theta)+2\sin\theta\cos^2\theta=$
$=\sin\theta(\cos(2theta)+2\cos^2\theta)$
e quindi
$\sin\theta[\rho(\cos(2theta)+2\cos^2\theta)+1]=0$
Ne segue che l'equazione si scompone nelle due equazioni seguenti
$\sin\theta=0,\qquad \rho(4\cos^2\theta-1)+1=0$
A questo punto, a seconda dei valori determinati da queste due equazioni, sostituendo nella prima trovi le soluzioni.
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