Risoluzione equaz. differ.
Ciao a tutti,
Sto trattando l'equazione differenziale $ y''' + y'' - 2y' = e^x$ e sono riuscito a risolvere il primo membro imponendo $\lambda^3+\lambda^2 -2\lambda = 0$ . Il problema è che ora non ho ben afferrato come mi dovrei comportare per la risoluzione del secondo membro..
Grazie mille in anticipo..
Sto trattando l'equazione differenziale $ y''' + y'' - 2y' = e^x$ e sono riuscito a risolvere il primo membro imponendo $\lambda^3+\lambda^2 -2\lambda = 0$ . Il problema è che ora non ho ben afferrato come mi dovrei comportare per la risoluzione del secondo membro..
Grazie mille in anticipo..
Risposte
Ciao,
purtroppo le equazioni differenziali del terzo grado non le ho (ancora) trattate, non so aiutarti...
Ciao.
purtroppo le equazioni differenziali del terzo grado non le ho (ancora) trattate, non so aiutarti...
Ciao.
Domanda per entrambi:
se l'equazione fosse stata $z''+z'-2z=e^x$ l'avreste saputa risolvere?
se l'equazione fosse stata $z''+z'-2z=e^x$ l'avreste saputa risolvere?
Invece l'equazione di secondo grado $y'' + y' -2y= e^x$ come la tratteresti? Grazie mille in anticipo...
Per Gi8 : L'equazione omogenea associata sono in grado di risolverla, ho difficoltà nella risoluzione la parte di $e^x$..
Per Gi8 : L'equazione omogenea associata sono in grado di risolverla, ho difficoltà nella risoluzione la parte di $e^x$..
Scrivi i passaggi fino a dove ti blocchi, così ti spiego meglio
Ciao
per prima cosa quando hai un'equazione differenziale non omogenea sai che la soluzione è data da due componenti sommate tra loro:
la prima componente è il cosiddetto "integrale generale" (chiamiamolo per esempio $y_g$), ed è dato dalla soluzione dell'omogenea associata (quello che tu hai già calcolato)
la seconda componente è il cosiddetto "integrale particolare" (chiamiamolo per esempio $y_p$) e ci sono diversi modi per determinarlo
una volta determinato la soluzione vera e propria sarà $y=y_g + y_p$
Vediamo le due principali tecniche per trovare $y_p$
Una è il metodo di variazione delle costanti , ma in questo caso sarebbe superfluo usare questo metodo che è più laborioso, e tu hai una funzione molto semplice al secondo membro
Un altro metodo è quello detto "degli annichilatori", ovvero si vede di che tipo è la funzione al secondo membro e si determina l'integrale particolare. D'ora in avanti chiamo la funzione al secondo membro solo come $f(x)$ per comodità
Vediamo i casi
Caso a) $f(x)=P(x)$ dove $P(x)$ è un generico polinomio di grado $n$
In questo caso si deve vedere:
Se $\lambda = 0$ è una soluzione dell'equazione algebrica dell'omogenea associata allora $y_p = xQ(x)$ dove $Q(x)$ è una polinomio dello stesso grado di $P(x)$
Es. Se $P(x) = 4x^3+2x^2-7x+1$ allora $Q(x) = Ax^3+Bx^2+Cx+D$; Dove $A, B, C$ e $D$ sono costanti numeriche da determinare che vedremo in seguito
Se $\lambda = 0$ non è una soluzione dell'equazione algebrica dell'omogenea associata allora $y_p = Q(x)$
$Q(x)$ è sempre un polinomio dello stesso grado di $P(x)$ come nel caso precedente
Caso b) $f(x)=P(x)e^{\alpha x}$ dove $P(x)$ è un generico polinomio di grado $n$
In questo caso si deve vedere:
Se $\alpha$ è una delle soluzione dell'algebrica dell'omogenea associata allora $y_p = x^m Q(x)e^{\alpha x}$
dove $m$ è la molteplicità della soluzione $alpha$
Se $\alpha$ non è una delle soluzione dell'algebrica dell'omogenea associata allora $y_p = Q(x)e^{\alpha x}$
Caso c) $f(x)=e^{\alpha x}(k_1 sin(\beta x) + k_2 cos(\beta x))$ dove $P(x)$ è un generico polinomio di grado $n$, mentre $k_1$ e $k_2$ sono due costanti numeriche (che possono anche essere 0)
In questo caso si deve vedere:
Se $\alpha \pm i \beta$ sono soluzioni dell'algebrica dell'omogenea associata allora $y_p = x^m e^{\alpha x}(A sin(\beta x) + B cos(\beta x)$ dove $m$ è sempre la molteplicità della soluzione
Se $\alpha \pm i \beta$ non sono soluzioni dell'algebrica dell'omogenea associata allora $y_p = e^{\alpha x}(A sin(\beta x) + B cos(\beta x)$
nel tuo caso ha $f(x) = P(x)e^{\alpha x}*$ con $P(x) = 1$ e $alpha = 1$
prova ad andare avanti per conto tuo e chiedimi pure se hai difficoltà
per prima cosa quando hai un'equazione differenziale non omogenea sai che la soluzione è data da due componenti sommate tra loro:
la prima componente è il cosiddetto "integrale generale" (chiamiamolo per esempio $y_g$), ed è dato dalla soluzione dell'omogenea associata (quello che tu hai già calcolato)
la seconda componente è il cosiddetto "integrale particolare" (chiamiamolo per esempio $y_p$) e ci sono diversi modi per determinarlo
una volta determinato la soluzione vera e propria sarà $y=y_g + y_p$
Vediamo le due principali tecniche per trovare $y_p$
Una è il metodo di variazione delle costanti , ma in questo caso sarebbe superfluo usare questo metodo che è più laborioso, e tu hai una funzione molto semplice al secondo membro
Un altro metodo è quello detto "degli annichilatori", ovvero si vede di che tipo è la funzione al secondo membro e si determina l'integrale particolare. D'ora in avanti chiamo la funzione al secondo membro solo come $f(x)$ per comodità
Vediamo i casi
Caso a) $f(x)=P(x)$ dove $P(x)$ è un generico polinomio di grado $n$
In questo caso si deve vedere:
Se $\lambda = 0$ è una soluzione dell'equazione algebrica dell'omogenea associata allora $y_p = xQ(x)$ dove $Q(x)$ è una polinomio dello stesso grado di $P(x)$
Es. Se $P(x) = 4x^3+2x^2-7x+1$ allora $Q(x) = Ax^3+Bx^2+Cx+D$; Dove $A, B, C$ e $D$ sono costanti numeriche da determinare che vedremo in seguito
Se $\lambda = 0$ non è una soluzione dell'equazione algebrica dell'omogenea associata allora $y_p = Q(x)$
$Q(x)$ è sempre un polinomio dello stesso grado di $P(x)$ come nel caso precedente
Caso b) $f(x)=P(x)e^{\alpha x}$ dove $P(x)$ è un generico polinomio di grado $n$
In questo caso si deve vedere:
Se $\alpha$ è una delle soluzione dell'algebrica dell'omogenea associata allora $y_p = x^m Q(x)e^{\alpha x}$
dove $m$ è la molteplicità della soluzione $alpha$
Se $\alpha$ non è una delle soluzione dell'algebrica dell'omogenea associata allora $y_p = Q(x)e^{\alpha x}$
Caso c) $f(x)=e^{\alpha x}(k_1 sin(\beta x) + k_2 cos(\beta x))$ dove $P(x)$ è un generico polinomio di grado $n$, mentre $k_1$ e $k_2$ sono due costanti numeriche (che possono anche essere 0)
In questo caso si deve vedere:
Se $\alpha \pm i \beta$ sono soluzioni dell'algebrica dell'omogenea associata allora $y_p = x^m e^{\alpha x}(A sin(\beta x) + B cos(\beta x)$ dove $m$ è sempre la molteplicità della soluzione
Se $\alpha \pm i \beta$ non sono soluzioni dell'algebrica dell'omogenea associata allora $y_p = e^{\alpha x}(A sin(\beta x) + B cos(\beta x)$
nel tuo caso ha $f(x) = P(x)e^{\alpha x}*$ con $P(x) = 1$ e $alpha = 1$
prova ad andare avanti per conto tuo e chiedimi pure se hai difficoltà
Allora Gi8 io trasformo l'equazione differenziale in un'equazione omogenea di grado n ( n=2 o 3 in questo caso) e la risolvo..Una volta trovate le radici $\lambda_j$ di quest'equazione omogenea la scrivo come $y= c_1* e^{(\lambda_1)x} + c_2 * e^{(\lambda_2)x }+......$ e a questo punto mi blocco perchè non so come trasformare $e^x$..Mi pare che esista una formula per fare ciò ma ora mi sfugge..
Per Summerwind78: Grazie mille ora leggo con calma il tuo messaggio
Per Summerwind78: Grazie mille ora leggo con calma il tuo messaggio
Mi sono spiegato male.
Richiedo: Mi risolvi $z''+z'-2z=e^x$ fin dove riesci?
Richiedo: Mi risolvi $z''+z'-2z=e^x$ fin dove riesci?
Gi8 grazie mille purtroppo ti ho scritto poco prima che tu inviassi il messaggio Vi ringrazio entrambi, Summerwind78 grazie per la bella spiegazione,sono riuscito a risolvere senza problemi adesso
Mi è rimasto l'ultimo dubbio:
Quando vado a scrivere la soluzione vera e propria, le costanti $c_1$ e $c_2$ dell'integrale generale vanno determinate oppure le posso lasciare sotto forma letterale?
Vi ringrazio entrambi, Summerwind78 grazie per la bella spiegazione,sono riuscito a risolvere senza problemi adesso Mi è rimasto l'ultimo dubbio:
Quando vado a scrivere la soluzione vera e propria, le costanti $c_1$ e $c_2$ dell'integrale generale vanno determinate oppure le posso lasciare sotto forma letterale?
La soluzione dell'omogenea associata di $z''+z'-2z=e^x$ è $z(x)= c_1*e^x +c_2*e^(-2x)$
Ora si tratta di trovare una soluzione particolare. Poichè $A*e^x$ è soluzione dell'omogenea associata,
Bisogna cercare una soluzione del tipo $Axe^x$
Ora si tratta di trovare una soluzione particolare. Poichè $A*e^x$ è soluzione dell'omogenea associata,
Bisogna cercare una soluzione del tipo $Axe^x$
Hai ragione Gi8..ora ho le idee più chiare
Prego. Dovrebbe venirti $A=1/3$, pertanto la soluzione è $z(x)=c_1 e^x +c_2 e^(-2x) +1/3 x e^x$
Aggiungo un'ultima cosa: ora sei in grado di risolvere l'equazione di partenza: $y'''+y''-2y'=e^x$
Sostituzione: $z(x)=y'(x) =>$
$=> z''+z'-2z=e^x => z(x)=c_1 e^x +c_2 e^(-2x) +1/3 x e^x=> y'(x)=c_1 e^x +c_2 e^(-2x) +1/3 x e^x$
Per trovare quanto vale $y(x)$ devi integrare nell'ultima uguaglianza.
Aggiungo un'ultima cosa: ora sei in grado di risolvere l'equazione di partenza: $y'''+y''-2y'=e^x$
Sostituzione: $z(x)=y'(x) =>$
$=> z''+z'-2z=e^x => z(x)=c_1 e^x +c_2 e^(-2x) +1/3 x e^x=> y'(x)=c_1 e^x +c_2 e^(-2x) +1/3 x e^x$
Per trovare quanto vale $y(x)$ devi integrare nell'ultima uguaglianza.
Per quanto riguarda l'equazione differenziale di terzo grado ho trovato come soluzione $y(x)=c_1 + c_2 * e^x + c_3 * e^{-2x} + (1/3)x * e^x$..Che ne dici ?
Cavolo... avevo letto male la tua domanda... non mi ero accorto che fosse di terzo grado!!! L'avevo di secondo
Scusa... tu ho fatto tutto lo spiegone, e alla fine non ti ho aiutato
chiedo venia!
Scusa... tu ho fatto tutto lo spiegone, e alla fine non ti ho aiutato
chiedo venia!
Tranquillo mi è stato molto d'aiuto invece! Che parere mi dai sulla soluzione che ho trovato ?
Non mi torna...
se leggo bene mi pare che l'integrale che hai fatto (quello della soluzione di Gi8 per intenderci) per trovare $y(x)$ non sia proprio corretto
ricontrolla i conti
se leggo bene mi pare che l'integrale che hai fatto (quello della soluzione di Gi8 per intenderci) per trovare $y(x)$ non sia proprio corretto
ricontrolla i conti
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