Risoluzione EDP con metodo separazione variabili
Ciao a tutti 
Vi scrivo brevemente il mio problema :
t=derivata in T x= derivata in X X,T=variabili
Utt-9Uxx=0 (x,t) appartenenti a (0,2)x(-inf,+inf)
U(X,0)=X
Ut(X,0)=1+cos(PgrecoX/2)
Ux(0,T)=Ux(2,T)=0
Risolvendo trovo U(X,T)=[A(dipendente da k)cos(KTPgreco3/2)+B(dipendente da k)sen(KTPgreco3/2)]cos(KPgrecoX/2)
La soluzione finale è data dalla sommatoria delle espressione sopra con k che va da a 1 a +inf., a cui va aggiunto Ao e BoT.
Potresti spiegarmi la presenza di BoT, per k=0 B non si dovrebbe annullare?
P.S: scusate la pessima simbologia
Vi scrivo brevemente il mio problema :
t=derivata in T x= derivata in X X,T=variabili
Utt-9Uxx=0 (x,t) appartenenti a (0,2)x(-inf,+inf)
U(X,0)=X
Ut(X,0)=1+cos(PgrecoX/2)
Ux(0,T)=Ux(2,T)=0
Risolvendo trovo U(X,T)=[A(dipendente da k)cos(KTPgreco3/2)+B(dipendente da k)sen(KTPgreco3/2)]cos(KPgrecoX/2)
La soluzione finale è data dalla sommatoria delle espressione sopra con k che va da a 1 a +inf., a cui va aggiunto Ao e BoT.
Potresti spiegarmi la presenza di BoT, per k=0 B non si dovrebbe annullare?
P.S: scusate la pessima simbologia
Risposte
Se non ho sbagliato a interpretare:
Guarda qui
"Porfidia":
${ ( (x,t) in (0,2) times (-oo,+oo) ),( (partial^2 u(x,t))/(partial t^2)-9(partial^2 u(x,t))/(partial x^2)=0 ),( u(x,0)=x ),( (partial u)/(partial t)(x,0)=1+cos(pi/2x) ),( (partial u)/(partial x)(0,t)=0 ),((partial u)/(partial x)(2,t)=0):}$
Risolvendo trovo $u_k(x,t)=[A(k)cos((3pi)/2 kt)+B(k)sin((3pi)/2 kt)]cos(pi/2 kx)$
La soluzione finale è data da $sum_(k=1)^(+oo) [u_k(x,t)]+A_0+B_0t$
Potresti spiegarmi la presenza di $B_0t$? Per $k=0$, $B$ non si dovrebbe annullare?
"Porfidia":
P.S: scusate la pessima simbologia
Guarda qui
Hai interpretato perfettamente, grazie per il link!
Come suggerito, data la forma del dominio (una striscia di \(\mathbb{R}^2\)) è bene cercare una soluzione del problema che separi le variabili, i.e. una soluzione nella forma:
\[
u(x,t) := X(x)\ T(3t)\; .
\]
Affinché una funzione di questo tipo sia soluzione dell'equazione c'è bisogno che:
\[
9 X(x)\ \ddot{T}(3t) - 9 X^{\prime \prime}(x)\ T(3t) =0
\]
il che equivale a dire che esiste qualche costante \(\lambda\) in modo che:
\[
\begin{split}
\forall t\in \mathbb{R},\ &\ddot{T}(3t) - \lambda\ T(3t) =0 \\
\forall x\in ]0,2[,\ &X^{\prime \prime}(x) - \lambda\ X(x) =0\; .
\end{split}
\]
Dalle condizioni imposte alla PDE si ricava che:
\[
\forall t\in \mathbb{R},\ X^\prime(0)\ T(t) =0=X^\prime (2)\ T(t)
\]
il che equivale a dire che alla ODE in \(X\) bisogna accoppiare le condizioni nulle negli estremi, i.e. che la \(X\) soddisfa il problema:
\[
\tag{1}
\begin{cases}
X^{\prime \prime} (x) - \lambda\ X(x) =0\\
X^\prime (0)=0\\
X^\prime (2)=0\; .
\end{cases}
\]
Come noto, (1) ha soluzione solo se \(\lambda\leq 0\); in tal caso, si può pensare che \(\lambda = -\omega^2\) con \(\omega \geq 0\) e scrivere la generica soluzione della ODE come:
\[
X(x) := \begin{cases} A+B\ x &\text{, se } \omega =0\\
A\ \cos \omega x + B\ \sin \omega x &\text{, se } \omega >0\; ,
\end{cases}
\]
ed imponendo le condizioni al bordo, si trova che il parametro \(\omega\) o è nullo, con soluzione associata \(X_0(x) := A_0\), oppure è positivo e può assumere uno qualsiasi tra i valori \(\omega_n := n\pi/2\), con soluzione associata \(X_n(x) := A_n\ \cos (n\pi x/2) \); dunque, per la componente spaziale abbiamo:
\[
X(x) = X_n(x) := A_n\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)\qquad \text{, con } n =0,1,2,\ldots
\]
Da quanto appena detto segue \(\lambda =\lambda_n:=-\omega_n^2\) e sostituendo nella ODE per la componente temporale otteniamo la ODE:
\[
\ddot{T}(3t) + \omega_n^2\ T(3t) =0
\]
la quale ha soluzioni:
\[
T(3t) = T_n(3t) := \begin{cases} C_0 + 3\ D_0\ t &\text{, se } n=0\\
C_n\ \cos (3n\pi t/2) + D_n\ \sin (3n\pi t/2) &\text{, se } n=1,2,3,\ldots
\end{cases}
\]
Conseguentemente, tutte le funzioni del tipo:
\[
u_n(x,t) := X_n(x)\ T_n(x) = \begin{cases} c_0 + 3\ d_0\ t &\text{, se } n=0\\
\left( c_n\ \cos (3n\pi t/2) + d_n\ \sin (3n\pi t/2)\right)\ \cos (n\pi x/2) &\text{, se } n=1,2,3,\ldots
\end{cases}
\]
(in cui, per comodità \(c_n=A_nC_n\) e \(d_n=A_nD_n\)) sono soluzioni della PDE verificanti la condizione di derivata normale nulla sul bordo della striscia e, dunque, anche tutte le funzioni del tipo:
\[
\begin{split}
u_N(x,t) &= \sum_{n=0}^N u_n(x,t) \\
&= c_0 + 3\ d_0\ t + \sum_{n=1}^N \left( c_n\ \cos \left( \frac{3n\pi}{2}\ t\right) + d_n\ \sin \left( \frac{3n\pi}{2}\ t\right)\right)\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)\; ,
\end{split}
\]
con \(N\in \mathbb{N}\), risolvono la PDE con derivata normale nulla sul bordo.
Tra le \(u_N\) non ce n'è nessuna che soddisfa la condizione iniziale \(u(x,0)=x\), quindi sicuramente la soluzione del problema iniziale non è esprimibile come somma delle \(u_n\); allora, possiamo provare a cercare una soluzione del problema assegnato mandando \(N\to \infty\), ossia nella forma di Fourier:
\[
\tag{2}
u(x,t) = c_0 + 3\ d_0\ t + \sum_{n=1}^\infty \left( c_n\ \cos \left( \frac{3n\pi}{2}\ t\right) + d_n\ \sin \left( \frac{3n\pi}{2}\ t\right)\right)\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)\; .
\]
Supponendo, per il momento, che lo sviluppo in serie (2) sia convergente in un senso appropriato, abbiamo:
\[
\tag{3}
u(x,0) =c_0 + \sum_{n=1}^\infty c_n\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)
\]
e dalla relazione:
\[
u_t(x,t) = d_0 + \sum_{n=1}^\infty \left( - \frac{3n\pi}{2}\ c_n\ \sin \left( \frac{3n\pi}{2}\ t\right) + \frac{3n\pi}{2}\ d_n\ \cos \left( \frac{3n\pi}{2}\ t\right)\right)\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)
\]
traiamo:
\[
\tag{4}
u_t(x,0) = d_0 +\sum_{n=1}^\infty \frac{3n\pi}{2}\ d_n\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)\; ;
\]
per cui, usando gli sviluppi (3) e (4) per imporre le condizioni iniziali, troviamo:
\[
\tag{5}
\begin{cases}
c_0 + \sum_{n=1}^\infty c_n\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right) = x\\
d_0 +\sum_{n=1}^\infty \frac{3n\pi}{2}\ d_n\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right) = 1 + \cos \left( \frac{\pi}{2}\ x\right)\; ,
\end{cases}
\]
le quali consentono di determinare i coefficienti \(c_n\) e \(d_n\). Invero, dalla seconda si trae immediatamente:
\[
\begin{split}
d_0 &= 1 \\
d_1 &= \frac{2}{3\pi} \\
d_2=d_3=\cdots =d_n=\cdots &=0\; ;
\end{split}
\]
mentre dalla prima segue che gli \(c_n\) sono i coefficienti dello sviluppo in serie di soli coseni del dato iniziale \(f(x)=x\) sull'intervallo \(]0,2[\), i.e.:
\[
\begin{split}
c_0 &= \frac{1}{2}\ \int_0^2 x\ \text{d} x\\
c_n &= \int_0^2 x\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)\ \text{d} x\qquad \text{, con } n=1,2,3,\ldots
\end{split}
\]
Dunque, calcolati esplicitamente gli \(c_n\) (cosa che lascio volentieri a te), otteniamo:
\[
u(x,t) = c_0 + 3\ t + \left( c_1\ \cos \left( \frac{3\pi}{2}\ t\right) + \frac{2}{3\pi}\ \sin \left( \frac{3\pi}{2}\ t\right)\right)\ \cos \left( \frac{\pi}{2}\ x\right) + \sum_{n=2}^\infty c_n\ \cos \left( \frac{3n\pi}{2}\ t\right)\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)
\]
che è la soluzione formale del problema assegnato.
L'unica cosa che rimane da fare è controllare il tipo di convergenza della serie e stabilire se essa fornisce una soluzione classica o una soluzione debole.
\[
u(x,t) := X(x)\ T(3t)\; .
\]
Affinché una funzione di questo tipo sia soluzione dell'equazione c'è bisogno che:
\[
9 X(x)\ \ddot{T}(3t) - 9 X^{\prime \prime}(x)\ T(3t) =0
\]
il che equivale a dire che esiste qualche costante \(\lambda\) in modo che:
\[
\begin{split}
\forall t\in \mathbb{R},\ &\ddot{T}(3t) - \lambda\ T(3t) =0 \\
\forall x\in ]0,2[,\ &X^{\prime \prime}(x) - \lambda\ X(x) =0\; .
\end{split}
\]
Dalle condizioni imposte alla PDE si ricava che:
\[
\forall t\in \mathbb{R},\ X^\prime(0)\ T(t) =0=X^\prime (2)\ T(t)
\]
il che equivale a dire che alla ODE in \(X\) bisogna accoppiare le condizioni nulle negli estremi, i.e. che la \(X\) soddisfa il problema:
\[
\tag{1}
\begin{cases}
X^{\prime \prime} (x) - \lambda\ X(x) =0\\
X^\prime (0)=0\\
X^\prime (2)=0\; .
\end{cases}
\]
Come noto, (1) ha soluzione solo se \(\lambda\leq 0\); in tal caso, si può pensare che \(\lambda = -\omega^2\) con \(\omega \geq 0\) e scrivere la generica soluzione della ODE come:
\[
X(x) := \begin{cases} A+B\ x &\text{, se } \omega =0\\
A\ \cos \omega x + B\ \sin \omega x &\text{, se } \omega >0\; ,
\end{cases}
\]
ed imponendo le condizioni al bordo, si trova che il parametro \(\omega\) o è nullo, con soluzione associata \(X_0(x) := A_0\), oppure è positivo e può assumere uno qualsiasi tra i valori \(\omega_n := n\pi/2\), con soluzione associata \(X_n(x) := A_n\ \cos (n\pi x/2) \); dunque, per la componente spaziale abbiamo:
\[
X(x) = X_n(x) := A_n\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)\qquad \text{, con } n =0,1,2,\ldots
\]
Da quanto appena detto segue \(\lambda =\lambda_n:=-\omega_n^2\) e sostituendo nella ODE per la componente temporale otteniamo la ODE:
\[
\ddot{T}(3t) + \omega_n^2\ T(3t) =0
\]
la quale ha soluzioni:
\[
T(3t) = T_n(3t) := \begin{cases} C_0 + 3\ D_0\ t &\text{, se } n=0\\
C_n\ \cos (3n\pi t/2) + D_n\ \sin (3n\pi t/2) &\text{, se } n=1,2,3,\ldots
\end{cases}
\]
Conseguentemente, tutte le funzioni del tipo:
\[
u_n(x,t) := X_n(x)\ T_n(x) = \begin{cases} c_0 + 3\ d_0\ t &\text{, se } n=0\\
\left( c_n\ \cos (3n\pi t/2) + d_n\ \sin (3n\pi t/2)\right)\ \cos (n\pi x/2) &\text{, se } n=1,2,3,\ldots
\end{cases}
\]
(in cui, per comodità \(c_n=A_nC_n\) e \(d_n=A_nD_n\)) sono soluzioni della PDE verificanti la condizione di derivata normale nulla sul bordo della striscia e, dunque, anche tutte le funzioni del tipo:
\[
\begin{split}
u_N(x,t) &= \sum_{n=0}^N u_n(x,t) \\
&= c_0 + 3\ d_0\ t + \sum_{n=1}^N \left( c_n\ \cos \left( \frac{3n\pi}{2}\ t\right) + d_n\ \sin \left( \frac{3n\pi}{2}\ t\right)\right)\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)\; ,
\end{split}
\]
con \(N\in \mathbb{N}\), risolvono la PDE con derivata normale nulla sul bordo.
Tra le \(u_N\) non ce n'è nessuna che soddisfa la condizione iniziale \(u(x,0)=x\), quindi sicuramente la soluzione del problema iniziale non è esprimibile come somma delle \(u_n\); allora, possiamo provare a cercare una soluzione del problema assegnato mandando \(N\to \infty\), ossia nella forma di Fourier:
\[
\tag{2}
u(x,t) = c_0 + 3\ d_0\ t + \sum_{n=1}^\infty \left( c_n\ \cos \left( \frac{3n\pi}{2}\ t\right) + d_n\ \sin \left( \frac{3n\pi}{2}\ t\right)\right)\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)\; .
\]
Supponendo, per il momento, che lo sviluppo in serie (2) sia convergente in un senso appropriato, abbiamo:
\[
\tag{3}
u(x,0) =c_0 + \sum_{n=1}^\infty c_n\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)
\]
e dalla relazione:
\[
u_t(x,t) = d_0 + \sum_{n=1}^\infty \left( - \frac{3n\pi}{2}\ c_n\ \sin \left( \frac{3n\pi}{2}\ t\right) + \frac{3n\pi}{2}\ d_n\ \cos \left( \frac{3n\pi}{2}\ t\right)\right)\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)
\]
traiamo:
\[
\tag{4}
u_t(x,0) = d_0 +\sum_{n=1}^\infty \frac{3n\pi}{2}\ d_n\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)\; ;
\]
per cui, usando gli sviluppi (3) e (4) per imporre le condizioni iniziali, troviamo:
\[
\tag{5}
\begin{cases}
c_0 + \sum_{n=1}^\infty c_n\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right) = x\\
d_0 +\sum_{n=1}^\infty \frac{3n\pi}{2}\ d_n\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right) = 1 + \cos \left( \frac{\pi}{2}\ x\right)\; ,
\end{cases}
\]
le quali consentono di determinare i coefficienti \(c_n\) e \(d_n\). Invero, dalla seconda si trae immediatamente:
\[
\begin{split}
d_0 &= 1 \\
d_1 &= \frac{2}{3\pi} \\
d_2=d_3=\cdots =d_n=\cdots &=0\; ;
\end{split}
\]
mentre dalla prima segue che gli \(c_n\) sono i coefficienti dello sviluppo in serie di soli coseni del dato iniziale \(f(x)=x\) sull'intervallo \(]0,2[\), i.e.:
\[
\begin{split}
c_0 &= \frac{1}{2}\ \int_0^2 x\ \text{d} x\\
c_n &= \int_0^2 x\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)\ \text{d} x\qquad \text{, con } n=1,2,3,\ldots
\end{split}
\]
Dunque, calcolati esplicitamente gli \(c_n\) (cosa che lascio volentieri a te), otteniamo:
\[
u(x,t) = c_0 + 3\ t + \left( c_1\ \cos \left( \frac{3\pi}{2}\ t\right) + \frac{2}{3\pi}\ \sin \left( \frac{3\pi}{2}\ t\right)\right)\ \cos \left( \frac{\pi}{2}\ x\right) + \sum_{n=2}^\infty c_n\ \cos \left( \frac{3n\pi}{2}\ t\right)\ \cos \left( \frac{n\pi}{2}\ x\right)
\]
che è la soluzione formale del problema assegnato.
L'unica cosa che rimane da fare è controllare il tipo di convergenza della serie e stabilire se essa fornisce una soluzione classica o una soluzione debole.
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