Risoluzione disequazione

[divingsun]

Ciao a tutti,questo esercizio mi chiede di dimostrare che l'estremo superiore di un insieme S= { $ logn/(sqrt(1+log^2n)) $ } per ogni $ n>=1 $ sia supS=1.
Quindi dalla definizione di estremo superiore mi chiedo se per un $ epsilon>0 $ esiste un y in S tale che sia $ y>=1-epsilon $ .
Ovviamente è vera per $ epsilon>=1 $ .
Invece per $ 00 $ quindi si ha che $ logn/(sqrt(1+log^2n))>1-epsilon hArr log^2n/(1+log^2n)>(1-epsilon)^2 $ , ma ora non capisco perché sia $ hArr (-epsilon^2+2epsilon)log^2n>(1-epsilon)^2 $ .
Non capisco perché abbia moltiplicato per $ (-epsilon^2+2epsilon) $ e che fine abbia fatto $ 1+log^2n $ .
mi dispiace se questa domanda risulta banale.
Grazie mille per l'aiuto

[spugna2]

Si tratta semplicemente di moltiplicare tutto per $1+log^2 n$, quindi la catena di equivalenze continua con $log^2 n > (1-epsilon)^2*(1+log^2 n)=(1-epsilon)^2+(1-2epsilon+epsilon^2)log^2(n)$, poi porti l'ultimo termine a sinistra e viene proprio l'ultima disuguaglianza che hai scritto...

[divingsun]

"spugna":Si tratta semplicemente di moltiplicare tutto per $1+log^2 n$, quindi la catena di equivalenze continua con $log^2 n > (1-epsilon)^2*(1+log^2 n)=(1-epsilon)^2+(1-2epsilon+epsilon^2)log^2(n)$, poi porti l'ultimo termine a sinistra e viene proprio l'ultima disuguaglianza che hai scritto...

Grazie mille…..!!!