Risoluzione disequazione

[Michele.c93]

Mi aiutereste a capire la positività di questa derivata? non so come semplificarmi le cose
$ (x+1)/sqrt(x^2 + 2x) - 1/x^2 >0 $

[@melia]

Suppongo che tu abbia già calcolato il campo di esistenza della derivata che risulta essere $x< -2 vv x> 0$

Per $x< -2$ la derivata è sempre negativa perché somma di due addendi entrambi negativi.

Per $x>0$ lo studio del segno della derivata si riduce a studiare la disequazione $x^3 + x^2 -sqrt(x^2+2x) >0$, ma la sua soluzione algebrica è improponibile, quindi possimo risolverla graficamente utilizzando le due funzioni
$y=x^3 + x^2$ e $y= sqrt(x^2+2x) $
che si incontrano in un unico punto $alpha$ compreso tra $1/2$ e $1$.

Riassumendo
Per $x< -2$ la derivata è negativa
per $-2<=x<=0$ la derivata non esiste
per $0 per $x>alpha$ la derivata è positiva

[Michele.c93]

Ok tutto chiaro.Con i tuoi risultati mi trovo il grafico uguale a quello della risoluzione.
Grazie mille!
Una sola cosa non mi è chiara come fai a capire date le due funzioni $ y=x3+x2 $ e $ y=sqrt(x^2+2x) $ in quale punto si incontrano?

[@melia]

In quale punto esattamente si incontrano non lo so, ma una volta tracciati i due grafici vedo che si intersecano in un punto e dove si trova, più o meno, quindi sostituisco un po' di valori, sostituendo $1$ vedo che sta sopra l'iperbole, sostituendo $1/2$ vedo che sta sopra la cubica, quindi si devono intersecare tra i due valori, avendo voglia e tempo si può fare di meglio.