Risoluzione differenziali con serie e integrale

[bertuz1]

Ciao a tutti! Purtroppo ho un paio di dubbi che mi perseguitano e senza l'aiuto di qualcuno non riesco ad andare avanti

Innanzi tutto ho un integrale da risolvere, ma non riesco a trovare un modo per risolverlo!
$ int_(x/(1+x))dx $
più che il risultato mi servirebbe proprio un suggerimento per la risoluzione!

Inoltre, sto cercando di risolvere il seguente esercizio trattante i differenziali:

"Qual'è una soluzione per serie del seguente problema di Cauchy $y'= 2y+1$, $y(1)=1$"

1. $y(x) = 1 + 3x + 3/2x^2+..$
2. $y(x) = 1 + 3(x-1) + 1/2(x-1)^2 + ..$
3. $y(x) = 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + .. $
4. $y(x) = 1 + 2(x-1) + 5/2(x-1)^2 + ..$

ho scartato la prima visto che non tiene la condizione y(1) = 1, ma non saprei come confrontare le altre! suggerimenti?

[Marco831]

Integrale:

(x/(1+x))dx=((1+x)/(1+x)-1/(1+x))dx=(1-1/(1+x))dx
integrando ottieni

x-ln(1+x)+C

[bertuz1]

maledizione.. hai ragione. bastava scinderlo e non mi veniva in mente come farlo. Appena postato poi ho avuto il presentimento fosse un integrale noto, e difatti su wikipedia alla voce integrali lo da come integrale noto.

.. ma la tua soluzione mi piace di più . Grazie!

[carlo232]

"bertuz":Ciao a tutti! Purtroppo ho un paio di dubbi che mi perseguitano e senza l'aiuto di qualcuno non riesco ad andare avanti

Innanzi tutto ho un integrale da risolvere, ma non riesco a trovare un modo per risolverlo!
$ int_(x/(1+x))dx $
più che il risultato mi servirebbe proprio un suggerimento per la risoluzione!

Inoltre, sto cercando di risolvere il seguente esercizio trattante i differenziali:

"Qual'è una soluzione per serie del seguente problema di Cauchy $y'= 2y+1$, $y(1)=1$"

1. $y(x) = 1 + 3x + 3/2x^2+..$
2. $y(x) = 1 + 3(x-1) + 1/2(x-1)^2 + ..$
3. $y(x) = 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + .. $
4. $y(x) = 1 + 2(x-1) + 5/2(x-1)^2 + ..$

ho scartato la prima visto che non tiene la condizione y(1) = 1, ma non saprei come confrontare le altre! suggerimenti?

Cambiamo in $z=x+1$ abbiamo che $dz=dx$, allora

$y(z)=1+a_1z+a_2z^2+...$

$y'(z)=a_1+2a_2z+3z_3z^2+...$

quindi da $2y-y'+1=0$

$2-a_1+1=0$ $a_1=3$

$2a_1-2a_2=0$ $a_2=3$

e la soluzione segue.

Ciao , spero di non aver fatto errori...

[bertuz1]

Cambiamo in $z=x+1$ abbiamo che $dz=dx$, allora

$y(z)=1+a_1z+a_2z^2+...$

$y'(z)=a_1+2a_2z+3z_3z^2+...$

quindi da $2y-y'+1=0$

$2-a_1+1=0$ $a_1=3$

$2a_1-2a_2=0$ $a_2=3$

e la soluzione segue.

Ciao , spero di non aver fatto errori...

devo ammettere che non ho capito nulla . perchè "Cambiamo in $z=x+1$ abbiamo che $dz=dx$,"? da dove viene quel x+1?

[Camillo]

Puoi anche fare così , partendo dalla equazione differenziale stessa :

$ y' = 2y +1 $ e di conseguenza : $ y'(1) = 2y(1)+1=2*1+1 = 3 $
derivando poi l'equazione differenziale ottieni : $ y'' = 2y' $ e in particolare :
$ y''(1) = 2y'(1)=2*3=6$

Quindi la soluzione deve essere tale che :

$y(1) = 1 , y'(1) = 3 , y''(1) = 6 $ .
Si verifica facilamente che :
la 2 ) verifica la prima e la seconda condizione ma non la terza
la 3 ) verifica tutte le condizioni ed è la soluzione
la 4 ) verifica solo la prima condizione .

Camillo

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Quale è il metodo generale per trovare soluzioni di equazioni differenziali sotto forma di serie?

[bertuz1]

"GIOVANNI IL CHIMICO":Quale è il metodo generale per trovare soluzioni di equazioni differenziali sotto forma di serie?

da quanto ne so il metodo è che se il differenziale (di primo grado) è nella forma è ad esempio:
$y' = ry$

avremo:
$y=C0+C1x+C2x^2+..$
e quindi $y' = C1+ 2C2x + 3C3x^2 + ...$

raggiungendo la conclusione che le costanti C avranno la seguente relazione

$ C1 + 2C2 + 3C3 + ... = rC0 + rC1 + rC2 + ..$

a questo punto se hai condizioni iniziali ad esempio y(0) = 3, allora C0 = 3 e puoi inserire in un sistema le relazioni fra le varie costanti

$
c0 = 3
c1 = rC0
c2 = rc1/2
...
$

abbiamo quindi le C che ci interessano per formare la funzione soluzione in forma di serie:

$ y = c0 + c1x + c2x^2 + ...$
che quindi:

$y = 3 + (rc0)x + (rc1/2)x^2 + ..$

spero di non aver fatto sbagli... . Per eq. differenziali di secondo grado però non ne ho idea! E in effetti l'esercizio che ho proposto sopra ne ho uno dello stesso tipo ma nella forma di 2° grado (e con due condizioni iniciali di cauchy..) mah! Credo che andrò a riceviemnto del professore e chiederò in ginocchio delucidazioni

[carlo232]

"bertuz":
devo ammettere che non ho capito nulla . perchè "Cambiamo in $z=x+1$ abbiamo che $dz=dx$,"? da dove viene quel x+1?

Mi spiego meglio, come hai detto la prima serie è da scartare, le altre serie sono un pò scomode da affrontare perchè centrate in $x=1$ e non in $x=0$, cioè nella forma $a_0+a_1(x-1)+a_2(x-1)^2+...$ e non nella forma $a_0+a_1x+a_2x^2+...$. Il cambio $z=x+1$ permette di ovviare a questo inconveniente, poi una volta ricavate le espressioni per la serie e la sua derivata (derivando termine per termine) è sufficiente risolvere un sistema di equazioni per trovare i coefficienti incogniti.

Spero di essere stato chiaro, ciao!

[bertuz1]

Cambiamo in $z=x+1$ abbiamo che $dz=dx$, allora

$y(z)=1+a_1z+a_2z^2+...$

$y'(z)=a_1+2a_2z+3z_3z^2+...$

quindi da $2y-y'+1=0$

$2-a_1+1=0$ $a_1=3$

$2a_1-2a_2=0$ $a_2=3$

e la soluzione segue.

Forse ho capito, tranne una cosa che non capisco. $y(z)=1+a_1z+a_2z^2+...$ come fai a sapere che c0 = 1? $y(1)=1$ se non erro non ti consente di raggiungere questa conclusione! Sbaglio?

[carlo232]

"bertuz":Forse ho capito, tranne una cosa che non capisco. $y(z)=1+a_1z+a_2z^2+...$ come fai a sapere che c0 = 1? $y(1)=1$ se non erro non ti consente di raggiungere questa conclusione! Sbaglio?

Forse si può trovare il che coefficiente $a-0$ è 1, però con sti esercizi ci vuole un pò di furbizia, sai che una di quelle serie è sicuramente giusta e tutte iniziano con 1.

[Sk_Anonymous]

La sostituzione giusta e' z=x-1 in modo che per x=1 sia z=0. e cio' mette le cose a posto!
Archimede

[carlo232]

"archimede":La sostituzione giusta e' z=x-1 in modo che per x=1 sia z=0. e cio' mette le cose a posto!
Archimede

Già, io ho dimenticato di scrivere $y(z)$ e poi andava $z$, è più chiaro così come dici...