Risoluzione differenziali con serie e integrale
Ciao a tutti! Purtroppo ho un paio di dubbi che mi perseguitano e senza l'aiuto di qualcuno non riesco ad andare avanti
Innanzi tutto ho un integrale da risolvere, ma non riesco a trovare un modo per risolverlo!
$ int_(x/(1+x))dx $
più che il risultato mi servirebbe proprio un suggerimento per la risoluzione!
Inoltre, sto cercando di risolvere il seguente esercizio trattante i differenziali:
"Qual'è una soluzione per serie del seguente problema di Cauchy $y'= 2y+1$, $y(1)=1$"
1. $y(x) = 1 + 3x + 3/2x^2+..$
2. $y(x) = 1 + 3(x-1) + 1/2(x-1)^2 + ..$
3. $y(x) = 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + .. $
4. $y(x) = 1 + 2(x-1) + 5/2(x-1)^2 + ..$
ho scartato la prima visto che non tiene la condizione y(1) = 1, ma non saprei come confrontare le altre! suggerimenti?

Innanzi tutto ho un integrale da risolvere, ma non riesco a trovare un modo per risolverlo!
$ int_(x/(1+x))dx $
più che il risultato mi servirebbe proprio un suggerimento per la risoluzione!
Inoltre, sto cercando di risolvere il seguente esercizio trattante i differenziali:
"Qual'è una soluzione per serie del seguente problema di Cauchy $y'= 2y+1$, $y(1)=1$"
1. $y(x) = 1 + 3x + 3/2x^2+..$
2. $y(x) = 1 + 3(x-1) + 1/2(x-1)^2 + ..$
3. $y(x) = 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + .. $
4. $y(x) = 1 + 2(x-1) + 5/2(x-1)^2 + ..$
ho scartato la prima visto che non tiene la condizione y(1) = 1, ma non saprei come confrontare le altre! suggerimenti?
Risposte
Integrale:
(x/(1+x))dx=((1+x)/(1+x)-1/(1+x))dx=(1-1/(1+x))dx
integrando ottieni
x-ln(1+x)+C
(x/(1+x))dx=((1+x)/(1+x)-1/(1+x))dx=(1-1/(1+x))dx
integrando ottieni
x-ln(1+x)+C
maledizione.. hai ragione. bastava scinderlo e non mi veniva in mente come farlo. Appena postato poi ho avuto il presentimento fosse un integrale noto, e difatti su wikipedia alla voce integrali lo da come integrale noto.
.. ma la tua soluzione mi piace di più
. Grazie!
.. ma la tua soluzione mi piace di più

"bertuz":
Ciao a tutti! Purtroppo ho un paio di dubbi che mi perseguitano e senza l'aiuto di qualcuno non riesco ad andare avanti![]()
Innanzi tutto ho un integrale da risolvere, ma non riesco a trovare un modo per risolverlo!
$ int_(x/(1+x))dx $
più che il risultato mi servirebbe proprio un suggerimento per la risoluzione!
Inoltre, sto cercando di risolvere il seguente esercizio trattante i differenziali:
"Qual'è una soluzione per serie del seguente problema di Cauchy $y'= 2y+1$, $y(1)=1$"
1. $y(x) = 1 + 3x + 3/2x^2+..$
2. $y(x) = 1 + 3(x-1) + 1/2(x-1)^2 + ..$
3. $y(x) = 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + .. $
4. $y(x) = 1 + 2(x-1) + 5/2(x-1)^2 + ..$
ho scartato la prima visto che non tiene la condizione y(1) = 1, ma non saprei come confrontare le altre! suggerimenti?
Cambiamo in $z=x+1$ abbiamo che $dz=dx$, allora
$y(z)=1+a_1z+a_2z^2+...$
$y'(z)=a_1+2a_2z+3z_3z^2+...$
quindi da $2y-y'+1=0$
$2-a_1+1=0$ $a_1=3$
$2a_1-2a_2=0$ $a_2=3$
e la soluzione segue.
Ciao

Cambiamo in $z=x+1$ abbiamo che $dz=dx$, allora
$y(z)=1+a_1z+a_2z^2+...$
$y'(z)=a_1+2a_2z+3z_3z^2+...$
quindi da $2y-y'+1=0$
$2-a_1+1=0$ $a_1=3$
$2a_1-2a_2=0$ $a_2=3$
e la soluzione segue.
Ciao, spero di non aver fatto errori...
devo ammettere che non ho capito nulla

Puoi anche fare così , partendo dalla equazione differenziale stessa :
$ y' = 2y +1 $ e di conseguenza : $ y'(1) = 2y(1)+1=2*1+1 = 3 $
derivando poi l'equazione differenziale ottieni : $ y'' = 2y' $ e in particolare :
$ y''(1) = 2y'(1)=2*3=6$
Quindi la soluzione deve essere tale che :
$y(1) = 1 , y'(1) = 3 , y''(1) = 6 $ .
Si verifica facilamente che :
la 2 ) verifica la prima e la seconda condizione ma non la terza
la 3 ) verifica tutte le condizioni ed è la soluzione
la 4 ) verifica solo la prima condizione .
Camillo
$ y' = 2y +1 $ e di conseguenza : $ y'(1) = 2y(1)+1=2*1+1 = 3 $
derivando poi l'equazione differenziale ottieni : $ y'' = 2y' $ e in particolare :
$ y''(1) = 2y'(1)=2*3=6$
Quindi la soluzione deve essere tale che :
$y(1) = 1 , y'(1) = 3 , y''(1) = 6 $ .
Si verifica facilamente che :
la 2 ) verifica la prima e la seconda condizione ma non la terza
la 3 ) verifica tutte le condizioni ed è la soluzione
la 4 ) verifica solo la prima condizione .
Camillo
Quale è il metodo generale per trovare soluzioni di equazioni differenziali sotto forma di serie?
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Quale è il metodo generale per trovare soluzioni di equazioni differenziali sotto forma di serie?
da quanto ne so il metodo è che se il differenziale (di primo grado) è nella forma è ad esempio:
$y' = ry$
avremo:
$y=C0+C1x+C2x^2+..$
e quindi $y' = C1+ 2C2x + 3C3x^2 + ...$
raggiungendo la conclusione che le costanti C avranno la seguente relazione
$ C1 + 2C2 + 3C3 + ... = rC0 + rC1 + rC2 + ..$
a questo punto se hai condizioni iniziali ad esempio y(0) = 3, allora C0 = 3 e puoi inserire in un sistema le relazioni fra le varie costanti
$
c0 = 3
c1 = rC0
c2 = rc1/2
...
$
abbiamo quindi le C che ci interessano per formare la funzione soluzione in forma di serie:
$ y = c0 + c1x + c2x^2 + ...$
che quindi:
$y = 3 + (rc0)x + (rc1/2)x^2 + ..$
spero di non aver fatto sbagli...


"bertuz":
devo ammettere che non ho capito nulla. perchè "Cambiamo in $z=x+1$ abbiamo che $dz=dx$,"? da dove viene quel x+1?
Mi spiego meglio, come hai detto la prima serie è da scartare, le altre serie sono un pò scomode da affrontare perchè centrate in $x=1$ e non in $x=0$, cioè nella forma $a_0+a_1(x-1)+a_2(x-1)^2+...$ e non nella forma $a_0+a_1x+a_2x^2+...$. Il cambio $z=x+1$ permette di ovviare a questo inconveniente, poi una volta ricavate le espressioni per la serie e la sua derivata (derivando termine per termine) è sufficiente risolvere un sistema di equazioni per trovare i coefficienti incogniti.
Spero di essere stato chiaro, ciao!

Cambiamo in $z=x+1$ abbiamo che $dz=dx$, allora
$y(z)=1+a_1z+a_2z^2+...$
$y'(z)=a_1+2a_2z+3z_3z^2+...$
quindi da $2y-y'+1=0$
$2-a_1+1=0$ $a_1=3$
$2a_1-2a_2=0$ $a_2=3$
e la soluzione segue.
Forse ho capito, tranne una cosa che non capisco. $y(z)=1+a_1z+a_2z^2+...$ come fai a sapere che c0 = 1? $y(1)=1$ se non erro non ti consente di raggiungere questa conclusione! Sbaglio?
"bertuz":
Forse ho capito, tranne una cosa che non capisco. $y(z)=1+a_1z+a_2z^2+...$ come fai a sapere che c0 = 1? $y(1)=1$ se non erro non ti consente di raggiungere questa conclusione! Sbaglio?
Forse si può trovare il che coefficiente $a-0$ è 1, però con sti esercizi ci vuole un pò di furbizia, sai che una di quelle serie è sicuramente giusta e tutte iniziano con 1.

La sostituzione giusta e' z=x-1 in modo che per x=1 sia z=0. e cio' mette le cose a posto!
Archimede
Archimede
"archimede":
La sostituzione giusta e' z=x-1 in modo che per x=1 sia z=0. e cio' mette le cose a posto!
Archimede
Già, io ho dimenticato di scrivere $y(z)$ e poi andava $z$, è più chiaro così come dici...