Risoluzione differenziale
Salve a tutti.
Non riesco a capire come fare a disegnare il grafico della funzione [tex]\varepsilon (t)[/tex] sapendo che
[tex]\displaystyle \sigma(t) = E\varepsilon(t)+\eta \frac{d\varepsilon(t)}{dt}[/tex]
e dove [tex]\sigma(t)=\Pi(0.5t-1)[/tex], essendo [tex]\Pi(t)[/tex] la funzione rettangolare (definita come su wikipedia).
Mi piacerebbe capire come arrivarci più che avere la soluzione
Non riesco a capire come fare a disegnare il grafico della funzione [tex]\varepsilon (t)[/tex] sapendo che
[tex]\displaystyle \sigma(t) = E\varepsilon(t)+\eta \frac{d\varepsilon(t)}{dt}[/tex]
e dove [tex]\sigma(t)=\Pi(0.5t-1)[/tex], essendo [tex]\Pi(t)[/tex] la funzione rettangolare (definita come su wikipedia).
Mi piacerebbe capire come arrivarci più che avere la soluzione
Risposte
Supponendo \(E,\eta\) costanti, hai a che fare con una EDO risolubile con la trasformata di Laplace.
"Laplacizzando" ambo i membri e chiamando \(u\) la T.d.L. di \(\varepsilon\) trovi:
\[\eta (s u(s)-\varepsilon (0))+Eu(s)=\mathcal{L}[\Pi (t/2 -1)](s)\]
ove \(\varepsilon (0)\) è il dato al tempo \(t=0\) ed il secondo membro è la T.d.L. della porta; ricavando \(u\) ottieni:
\[u(s)=\frac{1}{E+\eta s} \mathcal{L}[\Pi (t/2 -1)](s) + \frac{\eta \varepsilon (0)}{E+\eta s}\]
quindi:
\[\varepsilon (t)=\mathcal{L}^{-1} [1/(E+\eta s)](t) * \Pi(t/2 -1) +\eta \varepsilon (0)\ \mathcal{L}^{-1}[1/(E+\eta s)](t)\]
ove \(*\) è la convoluzione.
Un calcolo esplicito mostra che:
\[\mathcal{L}^{-1} [1/(E+\eta s)](t) = \frac{1}{\eta}\ e^{-(E/\eta) t}\ \text{u}(t)\]
qui e nel seguito \(\text{u}(t)\) è il gradino unitario, quindi:
\[\varepsilon (t)=\frac{1}{\eta} \left(e^{-(E/\eta) t}\ \text{u}(t)\right) * \Pi(t/2 -1) +\varepsilon (0)\ e^{-(E/\eta) t}\ \text{u}(t)\]
e tutto sta a risolversi quella convoluzione, che non è difficile.
"Laplacizzando" ambo i membri e chiamando \(u\) la T.d.L. di \(\varepsilon\) trovi:
\[\eta (s u(s)-\varepsilon (0))+Eu(s)=\mathcal{L}[\Pi (t/2 -1)](s)\]
ove \(\varepsilon (0)\) è il dato al tempo \(t=0\) ed il secondo membro è la T.d.L. della porta; ricavando \(u\) ottieni:
\[u(s)=\frac{1}{E+\eta s} \mathcal{L}[\Pi (t/2 -1)](s) + \frac{\eta \varepsilon (0)}{E+\eta s}\]
quindi:
\[\varepsilon (t)=\mathcal{L}^{-1} [1/(E+\eta s)](t) * \Pi(t/2 -1) +\eta \varepsilon (0)\ \mathcal{L}^{-1}[1/(E+\eta s)](t)\]
ove \(*\) è la convoluzione.
Un calcolo esplicito mostra che:
\[\mathcal{L}^{-1} [1/(E+\eta s)](t) = \frac{1}{\eta}\ e^{-(E/\eta) t}\ \text{u}(t)\]
qui e nel seguito \(\text{u}(t)\) è il gradino unitario, quindi:
\[\varepsilon (t)=\frac{1}{\eta} \left(e^{-(E/\eta) t}\ \text{u}(t)\right) * \Pi(t/2 -1) +\varepsilon (0)\ e^{-(E/\eta) t}\ \text{u}(t)\]
e tutto sta a risolversi quella convoluzione, che non è difficile.
l' u(t) finale é un gradino giusto? altrimenti non mi torna
Beh...
"gugo82":
[...] qui e nel seguito \(\text{u}(t)\) è il gradino unitario [...]
Scusami, ho guardato la risposta con il cellulare e ogni tanto fa brutti scherzi (tipo scritte che se ne vanno al margine destro della pagina), non avevo letto 
Mi butto a ri-risolvere quella convoluzione (prima, in aula studio, credo di aver fatto qualche casino con i segni)
Grazie ancora
Mi butto a ri-risolvere quella convoluzione (prima, in aula studio, credo di aver fatto qualche casino con i segni)
Grazie ancora
Perfetto mi è uscito Adesso provo con altre equazioni analoghe e vi faccio sapere come va a finire 
Adesso provo con altre equazioni analoghe e vi faccio sapere come va a finire
Ok sto provando ad applicarlo ad un problema analogo, ditemi se fin ora vado bene
Io ho la seguente equazione
[tex]\displaystyle \varepsilon_0 \Pi(a,b) = \frac{\sigma(t)}{E} + \frac{1}{\eta}\int_{-\infty}^{t}\sigma(\tau)\mathrm d \tau[/tex]
devo ovviamente trovare [tex]\sigma(t)[/tex]. Ho indicato con $\Pi(a,b)$ la funzione rettangolo che vale 1 solo se $t\in (a,b)$ (lo so, la notazione è più informatica che matematica).
Ho trasformato tutto secondo Laplace, indicando con $u(s)$ la trasformata di [tex]\sigma(t)[/tex] e ottengo
[tex]\varepsilon_0 \mathcal{L}\left \{ \Pi(a,b) \right \} = \frac{u(s)}{E}+ \frac{u(s)}{\eta s}[/tex]
da cui
[tex]u(s)=\varepsilon_0 E \eta \left ( \frac{s}{E+\eta s}\right )\cdot \mathcal{L}\left \{ \Pi(a,b) \right \}[/tex]
Antitrasformando ottengo
[tex]\sigma(t)=\varepsilon_0 E \frac{d}{dt}\left ( e^{-(E/\eta)t}u(t)\right ) * \Pi(a,b) = \varepsilon_0 E \left ( -\frac{E}{\eta}e^{-(E/\eta)t}u(t) + 1 \right )* \Pi(a,b)[/tex]
dove indico con [tex]*[/tex] la convoluzione come prima.
Ora, fin qui è tutto corretto?
Io ho la seguente equazione
[tex]\displaystyle \varepsilon_0 \Pi(a,b) = \frac{\sigma(t)}{E} + \frac{1}{\eta}\int_{-\infty}^{t}\sigma(\tau)\mathrm d \tau[/tex]
devo ovviamente trovare [tex]\sigma(t)[/tex]. Ho indicato con $\Pi(a,b)$ la funzione rettangolo che vale 1 solo se $t\in (a,b)$ (lo so, la notazione è più informatica che matematica).
Ho trasformato tutto secondo Laplace, indicando con $u(s)$ la trasformata di [tex]\sigma(t)[/tex] e ottengo
[tex]\varepsilon_0 \mathcal{L}\left \{ \Pi(a,b) \right \} = \frac{u(s)}{E}+ \frac{u(s)}{\eta s}[/tex]
da cui
[tex]u(s)=\varepsilon_0 E \eta \left ( \frac{s}{E+\eta s}\right )\cdot \mathcal{L}\left \{ \Pi(a,b) \right \}[/tex]
Antitrasformando ottengo
[tex]\sigma(t)=\varepsilon_0 E \frac{d}{dt}\left ( e^{-(E/\eta)t}u(t)\right ) * \Pi(a,b) = \varepsilon_0 E \left ( -\frac{E}{\eta}e^{-(E/\eta)t}u(t) + 1 \right )* \Pi(a,b)[/tex]
dove indico con [tex]*[/tex] la convoluzione come prima.
Ora, fin qui è tutto corretto?
Mi pare di sì.
Qualcosa non mi quadra, in questa convoluzione
Ho un termine costante, quindi mi da un risultato identicamente diverso da zero anche prima dell'applicazione della funzione in ingresso
"enpires":
[tex]\sigma(t)= \varepsilon_0 E \left ( -\frac{E}{\eta}e^{-(E/\eta)t}u(t) + 1 \right )* \Pi(a,b)[/tex]
Ho un termine costante, quindi mi da un risultato identicamente diverso da zero anche prima dell'applicazione della funzione in ingresso
Ricorda che:
\[\frac{d}{dt}\left ( e^{-(E/\eta)t}u(t)\right ) =-\frac{E}{\eta} e^{-(E/\eta)t} +\delta(t)\]
nel senso delle distribuzioni.
\[\frac{d}{dt}\left ( e^{-(E/\eta)t}u(t)\right ) =-\frac{E}{\eta} e^{-(E/\eta)t} +\delta(t)\]
nel senso delle distribuzioni.
sono uno scemo, era quello che pensavo ed ho scritto 1...
Torno a studiare e a risolvere la cosa che è meglio
Grazie ancora
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