Risoluzione di un'EDO del II ordine
Salve a tutti. Sto studiando i metodi di risoluzione delle EDO del II ordine a coefficienti costanti, in particolare nel caso in cui:
$ay''+by'+cy=0$ con $a,b,c in R$ , l'equazione caratteristica $a p^2 +bp+c=0$ abbia $Delta<0$.
L'integrale generale è del tipo:
$Ae^(alphax)cos(betax)+Be^(alphax)sin(betax)$ con $A,B in R$ e denotate $ alpha + i beta$ ed $alpha - i beta $ le radici dell'equazione caratteristica.
Il mio dubbio è il seguente: se prendo come soluzione l'esponenziazione delle radici che ho trovato:
$ y(x)= C e^((alpha+ibeta)x) + D e^((alpha-i beta)x) $ è ancora soluzione generale della stessa equazione, ma è a valori complessa, e non capisco come posso fare a ricondurla alla forma reale $Ae^(alphax)cos(betax)+Be^(alphax)sin(betax)$. In particolare non ho capito che ipotesi devo fare su C e D (Se reali o complessi ), sapendo che l'equazione originaria vuole una soluzione reale.
Sarei molto grato se qualcuno volesse sciogliermi questo dubbio.
Grazie per l'attenzione.
$ay''+by'+cy=0$ con $a,b,c in R$ , l'equazione caratteristica $a p^2 +bp+c=0$ abbia $Delta<0$.
L'integrale generale è del tipo:
$Ae^(alphax)cos(betax)+Be^(alphax)sin(betax)$ con $A,B in R$ e denotate $ alpha + i beta$ ed $alpha - i beta $ le radici dell'equazione caratteristica.
Il mio dubbio è il seguente: se prendo come soluzione l'esponenziazione delle radici che ho trovato:
$ y(x)= C e^((alpha+ibeta)x) + D e^((alpha-i beta)x) $ è ancora soluzione generale della stessa equazione, ma è a valori complessa, e non capisco come posso fare a ricondurla alla forma reale $Ae^(alphax)cos(betax)+Be^(alphax)sin(betax)$. In particolare non ho capito che ipotesi devo fare su C e D (Se reali o complessi ), sapendo che l'equazione originaria vuole una soluzione reale.
Sarei molto grato se qualcuno volesse sciogliermi questo dubbio.
Grazie per l'attenzione.
Risposte
"GianlucaN":
Salve a tutti.
...
Il mio dubbio è il seguente: se prendo come soluzione l'esponenziazione delle radici che ho trovato:
$ y(x)= C e^((alpha+ibeta)x) + D e^((alpha-i beta)x) $ è ancora soluzione generale della stessa equazione, ma è a valori complessa, e non capisco come posso fare a ricondurla alla forma reale $Ae^(alphax)cos(betax)+Be^(alphax)sin(betax)$. In particolare non ho capito che ipotesi devo fare su C e D (Se reali o complessi ), sapendo che l'equazione originaria vuole una soluzione reale.
Sarei molto grato se qualcuno volesse sciogliermi questo dubbio.
Grazie per l'attenzione.
Guarda, qualcuno ti risponderà sicuramente. Io intervengo solo per uno sfogo personale.
Come si fa a dire che una funzione a valori complessi è soluzione di una equazione differenziale la cui incognita è una funzione a valori reali?
E, sia chiaro, mica è colpa tua! Anzi, fai benissimo a porti certe domande. Se le dovrebbero porre tutti gli studenti cui (quotidianamente) vengono raccontate queste baggianate. L'importante è correre, finire il programma. Che poi si allevino delle trote, chissenefrega?
"Fioravante Patrone":
Che poi si allevino delle trote, chissenefrega?
Alludi a un(a) trota in particolare ?
Veniamo al dubbio:
$C$ e $D$ sono complessi coniugati.
Basta usare la formula di Eulero: $e^(i\beta)=cos \beta + i sin \beta$.
Se abbiamo una espressione del tipo $Ce^(\alpha+i\beta)x+D e^(\alpha-i\beta)x$, sceglieremo C e D complessi coniugati e l'espressione perde la parte immaginaria, diventa reale.
Se infatti poniamo $D = \barC$ abbiamo $Ce^(\alpha+i\beta)x+\barC e^(\alpha-i\beta)x$
da cui:
$e^(\alpha x) [ 2Re(C) cos (\beta x) - 2 Im(C) sin (\beta x)]$
a questo punto chiamiamo $A= 2Re(C) $ e $B=- 2 Im(C) $ e abbiamo:
$y(x)= e^(ax)[A cos(\beta x) + B sin(\beta x)]$
la soluzione alla equazione differenziale, quella che viene fornita già "precotta" e viene raramente capita.... !!
Nella pratica degli esercizi alla fine ci si ricorda l'espressione finale (un esponenziale "modulato" da una sinusoide) e ci si dimentica delle sue origini "complesse".
Ringrazio Quinzio per la risposta chiarificatrice.
Ringrazio il prof.Patrone per aver evidenziato la sciocchezza che ho detto, effettivamente mi stavo soltanto preoccupando del fatto che quella soluzione funzionasse per l'equazione.
Però ciò mi fa sorgere un'altra domanda: in un caso come questo andrebbe "dichiarato a priori" se si vuole la soluzione reale o quella complessa? Dopo la risposta di Quinzio mi verrebbe sempre da risolvere prima con la soluzione complessa, dopodichè in base alle condizioni con cui stabilisco i valori delle costanti di integrazione viene distinto il caso particolare che abbiamo discusso (così, come diceva Quinzio, non dimentico le "origini complesse").
Ciò che voglio dire è che mi si sta aprendo una panoramica più ampia: ho "scoperto" che le soluzioni di alcune equazioni differenziali possono essere anche funzioni a valori complessi, ed anzi, anche quando si dice che le soluzioni sono reali, le sto riguardando come particolarizzazioni di soluzioni complesse.
Questo è il mio tentativo di risposta alla domanda/sfogo del prof.Patrone. Però è la mia idea e vorrei sapere se ho colto correttamente il senso.
Ringrazio il prof.Patrone per aver evidenziato la sciocchezza che ho detto, effettivamente mi stavo soltanto preoccupando del fatto che quella soluzione funzionasse per l'equazione.
Però ciò mi fa sorgere un'altra domanda: in un caso come questo andrebbe "dichiarato a priori" se si vuole la soluzione reale o quella complessa? Dopo la risposta di Quinzio mi verrebbe sempre da risolvere prima con la soluzione complessa, dopodichè in base alle condizioni con cui stabilisco i valori delle costanti di integrazione viene distinto il caso particolare che abbiamo discusso (così, come diceva Quinzio, non dimentico le "origini complesse").
Ciò che voglio dire è che mi si sta aprendo una panoramica più ampia: ho "scoperto" che le soluzioni di alcune equazioni differenziali possono essere anche funzioni a valori complessi, ed anzi, anche quando si dice che le soluzioni sono reali, le sto riguardando come particolarizzazioni di soluzioni complesse.
Questo è il mio tentativo di risposta alla domanda/sfogo del prof.Patrone. Però è la mia idea e vorrei sapere se ho colto correttamente il senso.
"GianlucaN":Mica ce l'avevo con te, neh! Anzi, apprezzo il fatto che ti sei posto delle domande.
Ringrazio il prof.Patrone per aver evidenziato la sciocchezza che ho detto, effettivamente mi stavo soltanto preoccupando del fatto che quella soluzione funzionasse per l'equazione.
"GianlucaN":Se si lavora su questioni standard con metodi standard, è buona igiene ricordare che quando si cerca una soluzione di un problema, andrebbe chiaramente specificato in che insieme la si cerca.
Però ciò mi fa sorgere un'altra domanda: in un caso come questo andrebbe "dichiarato a priori" se si vuole la soluzione reale o quella complessa?
Esempio banaluccio: quanto è lungo il lato di un rettangolo la cui area è $1 m^2$? La risposta la cerchiamo nei reali positivi, mica in $RR$!
Poi, se uno fa cose difficili, magari non sa dove si possa trovare la soluzione. Ma questo fa parte del processo creativo della matematica, dove, come in amore, tutto è permesso. Purché (in matematica...) alla fine i disocrsi filino bene, senza zone oscure.
"GianlucaN":Dietro a tutto questo c'è un fatto teorico abbastanza semplice, tutto sommato: la teoria delle equazioni differenziali lineari sviluppata per funzioni reali di variabile reale si può estendere "mutatis mutandis" al caso delle funzioni di variabile reale ma a valori complessi.
Dopo la risposta di Quinzio mi verrebbe sempre da risolvere prima con la soluzione complessa, dopodichè in base alle condizioni con cui stabilisco i valori delle costanti di integrazione viene distinto il caso particolare che abbiamo discusso (così, come diceva Quinzio, non dimentico le "origini complesse").
Ciò che voglio dire è che mi si sta aprendo una panoramica più ampia: ho "scoperto" che le soluzioni di alcune equazioni differenziali possono essere anche funzioni a valori complessi, ed anzi, anche quando si dice che le soluzioni sono reali, le sto riguardando come particolarizzazioni di soluzioni complesse.
La cosa carina è questo fatto, che dalle soluzioni a valori complessi si possa ripiombare sulle soluzioni reali (il che permette di fare le cose allegre e poi far sparire le tracce!).
Guarda, non c'è niente di eccezionale in queste cose. Sono semmai un po' noiose e ripetitive. Ma, anche per questo, mi infastidisce vedere quanto spesso succeda che un docente non dica un'acca al proposito.
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