Risoluzione di una semplice forma di indecisione
Ciao a tutti 
Sto cercando di risolvere una semplice forma di indecisione ma non riesco ad andare avanti.
Il limite in questione è il seguente:
\[\lim_{x\to 0^+} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^3-2x^2} = \frac{0}{0}\]
Il procedimento che sto adottando è il seguente:
\[\lim_{x\to 0^+} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^3-2x^2} = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{e^\frac{1}{x} (x^3-2x^2)}\]
A questo punto ho provato a proseguire nel seguente modo:
So che per \({x\to 0}\):
\[e^\frac{1}{x} \sim e^\frac{1}{x}\]
\[x^3-2x^2 \sim 2x^2\]
Quindi \(e^\frac{1}{x} (x^3-2x^2) \sim e^\frac{1}{x} 2x^2\)
Posso riscrivere il limite nel seguente modo:
\[\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{e^\frac{1}{x} 2x^2}\]
A questo punto non so proprio come andare avanti... Ho notato che il risultato dovrebbe essere 0, ma non so come ci si arrivi. Ho fatto qualche prova, ad esempio ho provato a spostare di nuovo sopra l'esponenziale ma non ne riesco a venire a capo. Devo ancora impratichirmi con le forme di indecisione, soprattutto nei casi in cui ci sono esponenziali e potenze insieme...
Ringrazio chiunque mi voglia aiutare
Sto cercando di risolvere una semplice forma di indecisione ma non riesco ad andare avanti.
Il limite in questione è il seguente:
\[\lim_{x\to 0^+} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^3-2x^2} = \frac{0}{0}\]
Il procedimento che sto adottando è il seguente:
\[\lim_{x\to 0^+} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^3-2x^2} = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{e^\frac{1}{x} (x^3-2x^2)}\]
A questo punto ho provato a proseguire nel seguente modo:
So che per \({x\to 0}\):
\[e^\frac{1}{x} \sim e^\frac{1}{x}\]
\[x^3-2x^2 \sim 2x^2\]
Quindi \(e^\frac{1}{x} (x^3-2x^2) \sim e^\frac{1}{x} 2x^2\)
Posso riscrivere il limite nel seguente modo:
\[\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{e^\frac{1}{x} 2x^2}\]
A questo punto non so proprio come andare avanti... Ho notato che il risultato dovrebbe essere 0, ma non so come ci si arrivi. Ho fatto qualche prova, ad esempio ho provato a spostare di nuovo sopra l'esponenziale ma non ne riesco a venire a capo. Devo ancora impratichirmi con le forme di indecisione, soprattutto nei casi in cui ci sono esponenziali e potenze insieme...
Ringrazio chiunque mi voglia aiutare
Risposte
Ciao, e benvenuto nel Forum!
A partire dall'ultimo limite che hai scritto, possiamo fare così (hai dimenticato un $-$ però)
\[\dfrac{1}{e^{1/x}(-2x^2) }=[t := 1/x]=-\dfrac{t^2}{2e^{t} }\to 0\quad \text{per}\ t\to +\infty\]
Ti trovi?
Ciao
Giuseppe
A partire dall'ultimo limite che hai scritto, possiamo fare così (hai dimenticato un $-$ però)
\[\dfrac{1}{e^{1/x}(-2x^2) }=[t := 1/x]=-\dfrac{t^2}{2e^{t} }\to 0\quad \text{per}\ t\to +\infty\]
Ti trovi?
Ciao
Giuseppe
Ciao, grazie per la risposta e per il benvenuto
Con la sostituzione mi trovo ma mi sto chiedendo come mai quella quantità tenda a \(0\). Io so che l'esponenziale è un infinito di ordine superiore (infinitesimo di ordine inferiore) rispetto alla potenza con esponente positivo, vale a dire che in generale esponenziale fratto potenza tende a \(+\infty \). Come posso però giustificare il fatto che la mia quantità, cioè potenza fratto esponenziale, abbia limite \(0\)?
Con la sostituzione mi trovo ma mi sto chiedendo come mai quella quantità tenda a \(0\). Io so che l'esponenziale è un infinito di ordine superiore (infinitesimo di ordine inferiore) rispetto alla potenza con esponente positivo, vale a dire che in generale esponenziale fratto potenza tende a \(+\infty \). Come posso però giustificare il fatto che la mia quantità, cioè potenza fratto esponenziale, abbia limite \(0\)?
Per definizione, date $f$ e $g$ che hanno limite infinito nel punto $x_0$, diciamo che, per $x\to x_0$, $f$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $g$ se
\[\exists\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}\in \{ +\infty, -\infty\}\]
Quindi, nel momento in cui affermi che l'esponenziale (per $x\to +\infty$) è un'infinito di ordine superiore rispetto ad una potenza positiva di $x$ (più in generale, anche un polinomio), stai intendendo questo fatto, ossia che
\[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{P_n(x)}=+\infty\qquad (1)\]
con $P_n$ polinomio di grado $n$. Suppongo, dunque, che tu ti stia chiedendo perchè è vera la $(1)$, che ovviamente non risulta vera solo per pura grazia del Signore
Giusto?
In tal caso, puoi dimostrare che il limite $(1)$ vale $+\infty$ in vari modi; per esempio, puoi applicare $n$ volte il Teorema di De L'Hopital (essendone verificate le ipotesi).
Detto questo, non è che ogni volta che calcoli un limite devi stare a dimostrare che è vera la $(1)$
sarebbe come 'dimostrare' ogni volta, facendo un'addizione, che $2+2$ fa $4$, non so se rendo l'idea. Allo stesso modo sai che, per esempio,
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\]
ma mica lo dimostri ogni volta che calcoli un limite dove sia necessario utilizzare questo limite notevole? Non credo
Dimmi se non sono stato chiaro in qualche punto, ok? Ciao
\[\exists\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}\in \{ +\infty, -\infty\}\]
Quindi, nel momento in cui affermi che l'esponenziale (per $x\to +\infty$) è un'infinito di ordine superiore rispetto ad una potenza positiva di $x$ (più in generale, anche un polinomio), stai intendendo questo fatto, ossia che
\[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{P_n(x)}=+\infty\qquad (1)\]
con $P_n$ polinomio di grado $n$. Suppongo, dunque, che tu ti stia chiedendo perchè è vera la $(1)$, che ovviamente non risulta vera solo per pura grazia del Signore
Giusto? In tal caso, puoi dimostrare che il limite $(1)$ vale $+\infty$ in vari modi; per esempio, puoi applicare $n$ volte il Teorema di De L'Hopital (essendone verificate le ipotesi).
Detto questo, non è che ogni volta che calcoli un limite devi stare a dimostrare che è vera la $(1)$
sarebbe come 'dimostrare' ogni volta, facendo un'addizione, che $2+2$ fa $4$, non so se rendo l'idea. Allo stesso modo sai che, per esempio,\[\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\]
ma mica lo dimostri ogni volta che calcoli un limite dove sia necessario utilizzare questo limite notevole? Non credo
Dimmi se non sono stato chiaro in qualche punto, ok? Ciao
Sì, sei stato chiaro
Il mio dubbio però è un altro, ovvero:
Si sa che:
\[\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{P_n(x)} = +\infty\]
Per quale motivo allora, come nel caso del limite risolto precedentemente, in generale si ha:
\[\lim_{x\to\infty} \frac{P_n(x)}{e^x} = 0\]?
Credo sia veramente banale, anche in modo intuitivo è comprensibile, ma preferisco non darlo per scontato
Il mio dubbio però è un altro, ovvero:
Si sa che:
\[\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{P_n(x)} = +\infty\]
Per quale motivo allora, come nel caso del limite risolto precedentemente, in generale si ha:
\[\lim_{x\to\infty} \frac{P_n(x)}{e^x} = 0\]?
Credo sia veramente banale, anche in modo intuitivo è comprensibile, ma preferisco non darlo per scontato
Fai bene a non dare tutto per scontato. In questo caso è semplice; senza dilungarci troppo, se $e^x$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $P_n(x)$, allora, ovviamente, $P_n(x)$ è un infinito di ordine inferiore rispetto ad $e^x$, no? 
E dal momento che, per $x\to x_0$,
\[[f\ \text{e' un infinito di ordine inferiore rispetto a}\ g]\iff \exists\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0\]
Allora.....
E dal momento che, per $x\to x_0$,
\[[f\ \text{e' un infinito di ordine inferiore rispetto a}\ g]\iff \exists\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0\]
Allora.....
Ah è vero, era tutto sotto gli occhi, ora ho capito
Ok, grazie mille!
Ok, grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo