Risoluzione di un sistema non lineare a due incognite

[Comeover]

Mi suggerite un metodo per risolvere un sistema del genere? (dovrebbero esistere 9 punti che soddisfano il sistema)
$\{(x^3+3xy^2-16x=0),(y^3+3x^2y-16y=0):}$

[billyballo2123]

$\{(x(x^2+3y^2-16)=0),(y(y^2+3x^2-16)=0):}$.
Lo soluzioni che si trovano immediatamente sono: $(x,y)=(0,0)$, $(x,y)=(0,4)$, $(x,y)=(0,-4)$, $(x,y)=(4,0)$, $(x,y)=(-4,0)$.
Troviamo ora gli $x$ e $y$ che sono soluzioni di
$\{(x^2+3y^2-16=0),(y^2+3x^2-16=0):}$.
$\{(x^2=16-3y^2),(y^2+3(16-3y^2)-16=0):}$
$\{(x^2=16-3y^2),(y^2+3(16-3y^2)-16=0):}$
$\{(x^2=16-3y^2),(8y^2=32=0):}$
$\{(x^2=4),(y^2=4):}$
Dunque $(x,y)=(2,2)$, $(x,y)=(2,-2)$, $(x,y)=(-2,2)$, $(x,y)=(-2,-2)$.

[Comeover]

"billyballo2123":$\{(x(x^2+3y^2-16)=0),(y(y^2+3x^2-16)=0):}$.
Lo soluzioni che si trovano immediatamente sono: $(x,y)=(0,0)$, $(x,y)=(0,4)$, $(x,y)=(0,-4)$, $(x,y)=(4,0)$, $(x,y)=(-4,0)$.

Come hai fatto a trovare
$(x,y)=(0,4)$, $(x,y)=(0,-4)$, $(x,y)=(4,0)$, $(x,y)=(-4,0)$.?

[billyballo2123]

Dalla prima equazione si deduce che o $x=0$ o $x^2+3y^2-16=0$. Supponiamo $x=0$. Allora nella seconda equazione o $y=0$ (e troviamo la soluzione $(x,y)=(0,0)$) o $y^2=16$ (e troviamo le due soluzioni $(x,y)=(0,4)$ e $(x,y)=(0,-4)$). Se invece $x\ne 0$, supponiamo $y=0$. Analogamente a quanto detto sopra, troviamo le soluzioni $(x,y)=(4,0)$ e $(x,y)=(-4,0)$. Se $x$ e $y$ sono entrambi non nulli, nel sistema
${(x(x^2+3y^2−16)=0),(y(y^2+3x^2−16)=0):}$
possiamo semplificarle entrambe e ottenere
${(x^2+3y^2−16=0),(y^2+3x^2−16=0):}$

[@melia]

Questa seconda parte del sistema si può risolvere più rapidamente osservando che
${(x^2+3y^2−16=0),(y^2+3x^2−16=0):}$
le due equazioni sono simmetriche rispetto a $x^2$ e $y^2$, quindi posso sostituire un'equazione con $x^2=y^2$ e ricopiare l'altra
${(x^2=y^2),(y^2+3x^2−16=0):}$