Risoluzione di un limite (forma indefinita)

[enrico9991]

come si risolve il seguente limite???

lim (rad(x^2 - 1))/(x+1)
x->+inf


la forma indefinita dovrebbe essere "inf/inf"


però poi non sono capace di risolverlo...

[Nidhogg]

$((sqrt(x^2-1))/(x+1))^2 = (x^2-1)/(x+1) = (x-1)/(x+1)$ ora applicando de l'Hopital si ottiene 1, che è proprio il limite.

[cavallipurosangue]

$\sqrt{x^2-1}$ è fortemente equivalente a $x$, mentre $x+1$ è fortemente equivalente a $x$ per $x\to+\infty$. Quindi:
$\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x}=\lim_{x\to+\infty}1=1$

[cavallipurosangue]

Ah per poco..

[enrico9991]

grazie per le pronte risposte, ma non riesco a capire.

Da dove salta fuori 1???

[Nidhogg]

$\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}=$
Elevando tutta la funzione al quadrato:
$\lim_{x\to+\infty}\frac{(sqrt(x^2-1))^2}{(x+1)^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-1}{(x+1)^2}=$
$\lim_{x\to+\infty}\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x-1)}{(x+1)}$
Applicando de l'Hopital:
$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1}=1$

[fireball1]

$lim_(x->+oo) sqrt(x^2-1)/(x+1) = lim_(x->+oo) sqrt((x^2(1-1/x^2))/(x+1) =$
$= lim_(x->+oo) (|x|sqrt(1-1/x^2))/(x+1) = lim_(x->+oo) (xsqrt(1-1/x^2))/(x(1+1/x)) =$
$=lim_(x->+oo) sqrt(1-1/x^2)/(1+1/x) = 1$