Risoluzione di un limite
Salve a tutti!
Sono nuova, mi chiamo Martina ho 21 anni e frequento economia...
In matematica generale sono una frana, ma devo passare l'esame!
Stiamo facendo i limiti delle funzioni e all'esercitazione il professore ci ha assegnato questo limite:
$ lim_(x -> oo) ((2x+1) ^( 1/ln (x+2))) $
potreste dirmi come risolverlo?? Grazie!
Sono nuova, mi chiamo Martina ho 21 anni e frequento economia...
In matematica generale sono una frana, ma devo passare l'esame!
Stiamo facendo i limiti delle funzioni e all'esercitazione il professore ci ha assegnato questo limite:
$ lim_(x -> oo) ((2x+1) ^( 1/ln (x+2))) $
potreste dirmi come risolverlo?? Grazie!
Risposte
Benvenuta!
hai un limite del tipo $lim_(xtooo) f(x)^g(x)$ con una indeterminazione $oo^0$, ti consiglio di scriverlo come $lim_(xtooo) e^ln(f(x)^g(x)) = lim_(xtooo) e^(g(x)*ln(f(x))) $. A questo punto devi ovviamente valutare questo limite $lim_(xtooo) g(x)* ln(f(x))$ che nel tuo caso si risolve con un colpo di de l'Hopital.
hai un limite del tipo $lim_(xtooo) f(x)^g(x)$ con una indeterminazione $oo^0$, ti consiglio di scriverlo come $lim_(xtooo) e^ln(f(x)^g(x)) = lim_(xtooo) e^(g(x)*ln(f(x))) $. A questo punto devi ovviamente valutare questo limite $lim_(xtooo) g(x)* ln(f(x))$ che nel tuo caso si risolve con un colpo di de l'Hopital.
Fino a questo punto c'ero arrivata, ma mi sono bloccata proprio lì!
Mi trovo con
$ e^{(-ln (2x+1)/ ln (x+2)) } $
come proseguo??
Mi trovo con
$ e^{(-ln (2x+1)/ ln (x+2)) } $
come proseguo??
Ho provato a proseguire applicando delle regole dei log, poi ditemi voi se ho scritto una sciocchezza 
$ e^{(-ln (2x+1) + ln (x+2))} $
e poi divido entrambi per due
$ e^{(-ln ((2x+1)/ 2) + ln ((x+2)/2))} $
semplificando esce
$ e^{(-ln (x) + ln (x))} $
di conseguenza è
$ e^{0} $
Può essere giusto? XD
$ e^{(-ln (2x+1) + ln (x+2))} $
e poi divido entrambi per due
$ e^{(-ln ((2x+1)/ 2) + ln ((x+2)/2))} $
semplificando esce
$ e^{(-ln (x) + ln (x))} $
di conseguenza è
$ e^{0} $
Può essere giusto? XD
"macerpat":
Ho provato a proseguire applicando delle regole dei log, poi ditemi voi se ho scritto una sciocchezza
$ e^{(-ln (2x+1) + ln (x+2))} $
e poi divido entrambi per due
$ e^{(-ln ((2x+1)/ 2) + ln ((x+2)/2))} $
semplificando esce
$ e^{(-ln (x) + ln (x))} $
di conseguenza è
$ e^{0} $
Può essere giusto? XD
Come hai fatto a ricavare il segno meno? Comunque applicando il teorema di De l'Hospital all'esponente di e dovresti ottenere questo risultato:
\(\displaystyle lim_{x \rightarrow \infty} \) \(\displaystyle \frac{ln (2x + 1)}{ln (x+2)} \) =
\(\displaystyle lim_{x \rightarrow \infty} \) \(\displaystyle \frac{2/(2x + 1)}{1/(x + 2)} \) =
\(\displaystyle lim_{x \rightarrow \infty} \) \(\displaystyle \frac{2x + 4}{2x + 1} \) = 1 .
Dunque il limite della funzione di partenza è uguale ad e.
"macerpat":
Ho provato a proseguire applicando delle regole dei log, poi ditemi voi se ho scritto una sciocchezza
$ e^{(-ln (2x+1) + ln (x+2))} $
e poi divido entrambi per due
$ e^{(-ln ((2x+1)/ 2) + ln ((x+2)/2))} $
semplificando esce
$ e^{(-ln (x) + ln (x))} $
di conseguenza è
$ e^{0} $
Può essere giusto? XD
mi sembrano passaggi di una matematica molto fantasiosa. Come detto in precedenza e confermato anche da Reoscuro devi applicare il teorema di De l'Hospital a quell'esponente, che tra l'altro non ha un segno meno davanti come invece hai scritto tu.
Scusate ma non c'è un altro modo per risolverlo senza applicare questo teorema? Perchè non l'abbiamo studiato proprio!
Comunque si ho sbagliato a mettere il segno, l'ho visto solo ora.
Inoltre, potrei sapere perchè non posso fare entrambi i membri diviso due? Cioè, non è consentito se viene applicato ad entrambi i membri?
Comunque si ho sbagliato a mettere il segno, l'ho visto solo ora.
Inoltre, potrei sapere perchè non posso fare entrambi i membri diviso due? Cioè, non è consentito se viene applicato ad entrambi i membri?
"macerpat":
Scusate ma non c'è un altro modo per risolverlo senza applicare questo teorema? Perchè non l'abbiamo studiato proprio!
Comunque si ho sbagliato a mettere il segno, l'ho visto solo ora.
Inoltre, potrei sapere perchè non posso fare entrambi i membri diviso due? Cioè, non è consentito se viene applicato ad entrambi i membri?
in generale $a+b != a/2+b/2$. Inoltre non si può spezzare il rapporto tra due logaritmi come hai fatto te.
Farlo senza De l'Hospital? ci sto pensando...
Ah ora ho capito XD
Uff per favore trovami una soluzione senza dover per forza applicare questo teorema >.< Anche perchè non abbiamo fatto neanche le derivate -.-
Io inizialmente feci:
$ e^{(ln (2x+1)/ ln (x+2))} $ =
$ e^{(ln x(2+(1/x)))/ (ln x(1+(2/x)))} $
E qui poi avevo semplificato ln x al numeratore e denominatore trovandomi:
$ e^{((2+(1/x)))/ ((1+(2/x)))} $
e diventa ---> $ e^{2} $
solo che il prof mi ha detto che non si poteva fare, quindi qui $ e^{(ln x(2+(1/x)))/ (ln x(1+(2/x)))} $ non semplifico e allora ho pensato si facesse:
$ ln e^{2} $ = 1
Uff per favore trovami una soluzione senza dover per forza applicare questo teorema >.< Anche perchè non abbiamo fatto neanche le derivate -.-
Io inizialmente feci:
$ e^{(ln (2x+1)/ ln (x+2))} $ =
$ e^{(ln x(2+(1/x)))/ (ln x(1+(2/x)))} $
E qui poi avevo semplificato ln x al numeratore e denominatore trovandomi:
$ e^{((2+(1/x)))/ ((1+(2/x)))} $
e diventa ---> $ e^{2} $
solo che il prof mi ha detto che non si poteva fare, quindi qui $ e^{(ln x(2+(1/x)))/ (ln x(1+(2/x)))} $ non semplifico e allora ho pensato si facesse:
$ ln e^{2} $ = 1
ho provato a fare qualche conto ma come la giro la giro sembra che senza De L'Hospital non la si sfanghi.
Dopo alcuni calcoli ho "ridotto" la questione al dover dimostrare che: $lim_(xtooo)(2x + 1)/ln(x + 2)·((2x + 1)^(1/(2x + 1)) - 1) = 1$, cosa ardua senza usare quel teorema...
Dopo alcuni calcoli ho "ridotto" la questione al dover dimostrare che: $lim_(xtooo)(2x + 1)/ln(x + 2)·((2x + 1)^(1/(2x + 1)) - 1) = 1$, cosa ardua senza usare quel teorema...
Ho provato a fare dei conti per risolvere il limite senza l'uso di de l'Hopital,chiaramente ho portato la funzione in forma esponenziale e ho lavorato un pò su $ ln(2x+1) / ln (x+2) $ .Dopo aver messo in evidenza sia a numeratore che a denominatore la x,mi ritrovo con : $ e^{ln(x(2+1 / x)) / ln (x(1+2 / x)) } $ ;usando le proprietà del logaritmo e tenendo conto del valore che assumono i limiti per x che tende a $ +oo $ ,questa forma equivale a : $ (ln(x)+ln(2)) / ln(x) $ che vale 1.Dunque il limite risulta
$ e^{1} $ ,ossia $ e $ .
$ e^{1} $ ,ossia $ e $ .
Potresti spiegarmi anche perchè vale 1? Pensavo che ln (x) si semplificasse al denominatore e numeratore e resta ln (2), giusto?
"macerpat":
Potresti spiegarmi anche perchè vale 1? Pensavo che ln (x) si semplificasse al denominatore e numeratore e resta ln (2), giusto?
Ho scomposto la frazione in questo modo : $ (ln(x) / ln(x) )+(ln(2) / ln(x)) $ ,poi ne ho fatto il limite per x che tende a $ +oo $ così ho che la prima frazione vale uno e la seconda zero,perchè il logaritmo va a $ +oo $ ,dunque ho $ ln(2)/(+oo ) $ che ha come limite 0.
1 è ciò che mi resta ed è l'esponente di e.
Ti ringrazio davvero 
"macerpat":
Ti ringrazio davvero
Figurati:D
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