Risoluzione di un limite

[Gh3rra]

Qualcuno potrebbe aiutarmi con questo limite?
$\lim_{x\to 0}\frac{(\cos(3x)-1)^3-e^{x^2}+1}{\ln(1+3x^4)}$

Io ho provato così:
$\lim_{x\to 0}\frac{\left[-\frac{(1-\cos(3x))\cdot 9x^2}{9x^2}\right]^3+\frac{(e^{x^2}-1)\cdot x^2}{x^2}}{\frac{\ln(1+3x^4)\cdot 3x^4}{3x^4}}=\frac{\left[-\frac{9x^2}{2}\right]^3+x^2}{3x^4}=\frac{-\frac{9^3x^6}{8}+x^2}{3x^4}=\frac{-\frac{9^3x^4}{8}+1}{3x^2}$

Non so più come procedere

[pilloeffe]

Ciao Gh3rra,

Lo spezzerei così:

$ \lim_{x\to 0} \frac{(\cos(3x)-1)^3-e^{x^2}+1}{\ln(1+3x^4)} = \lim_{x\to 0}\frac{(\cos(3x)-1)^3}{\ln(1+3x^4)} - \lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-1}{\ln(1+3x^4)} $

Il primo limite è nullo perché lo sviluppo in serie al numeratore è del tipo $k x^6 + ... $, mentre al denominatore è del tipo $m x^4 + ... $; lo sviluppo in serie del numeratore del secondo limite invece è del tipo $x^2 + ... $

Pertanto mi risulta che si ha:

$ \lim_{x\to 0} \frac{(\cos(3x)-1)^3-e^{x^2}+1}{\ln(1+3x^4)} = - \infty $

[Gh3rra]

"pilloeffe":Ciao Gh3rra,

Lo spezzerei così

Scusami ma non ho capito, hai usato gli sviluppi di Taylor? E se volessi arrivare alla conclusione tramite i limiti notevoli?

[pilloeffe]

"Gh3rra":Scusami ma non ho capito, hai usato gli sviluppi di Taylor?

Beh, mi sembra piuttosto evidente visto che hai fatto quasi uguale (con qualche errore...) anche tu...
Guarda che i limiti notevoli non sono altro che sviluppi in serie di Taylor arrestati al primo ordine:

$ \lim_{x\to 0} \frac{\[-\frac{9x^2}{2}]^3-x^2}{3x^4}=\lim_{x\to 0} \frac{-\frac{9^3x^6}{8}-x^2}{3x^4} = \lim_{x\to 0} \frac{-\frac{9^3x^4}{8}-1}{3x^2} = 0 - \infty = - \infty $