Risoluzione di un limite.

[mBag]

Buongiorno, non riesco a risolvere questo limite che graficamente risulta avere un asintoto in $ y=1/18 $

$lim_(x->+infty)(x^2(1-cos(1/(3x-4))))$

[Bremen000]

Sviluppa il coseno con Taylor (se sai cosa è) se no sfrutta il limite notevole con il coseno!

[francicko]

Considera che il limite notevole corrisponde allo sviluppo in serie arrestato al primo termine della variabile, quindi all'asintoticita.
Ora $cost $ $=sqrt (1-sin^2 (t)) $ sfruttando l'uguaglianza a sintotica $sin^2 (t)~~t^2$ si ottiene $~~sqrt(1-t^2)$ che scriviamo come $(1-t^2)^(1/2)$ , sfruttando l'uguaglianza asintotica $(1+(-t))^alpha $ $~~(1-alphat)$, e nel nostro caso diventa $(1-t^2)^(1/2)$ $~~(1-t^2/2) $
Ora prova a sostituire $1/(3x-4) =t$ in $(1-t^2/2)$ $~~cost $ ed otterrai l'asintoticita che ti porta alla soluzione del limite.

[caffeinaplus]

Ciao, per sostituzione

$1/(3x-4)=d$ quindi $x=(1+4d)/(3d)$ e quando $x->+oo$
allora $d->0$

Quindi $lim_{d->0} ((1+4d)/(3d))^2 (1-cos(d))$

Do per buona la conoscenza dei limiti noti, quindi sviluppo il quadrato nella prima parentesi e moltiplico e divido tutto per $d^2$

$lim_{d->0} ((1+16d^2 +8d)/(9d^2))*d^2((1-cos(d))/(d^2))$

E a questo punto è fatta

[francicko]

xcaffeinaplus
Sì in questo caso la sostituzione porta a risolvere il limite in maniera immediata utilizzando il limite notevole $lim_(d->0)(1-cos (d))/d^2=1/2$, da cui $lim_(d->0)(1/9)×(1-cos(d))/d^2=(1/9)×(1/2)=1/(18)$