Risoluzione di un limite

[C.Falcon]

Buonasera, volevo proporvi questo particolare limite:

$ lim_(x -> +oo ) (2n+3/2)^(1/n) $


Ho provato a risolverlo in questo modo:

$ (2n+3/2)^(1/n) $ = $ e^log((2n+3/2)^(1/n)) $ = $ e^(1/nlog(2n+3/2)) $

Eliminando "e" e il log ottenevo $ 1/n(2n+3/2) $ , il cui limite per x a infinito dà come risultato 2, mentre il libro dice che fa 1.
Qualcuno può darmi un aiutino?

[Berationalgetreal]

Sappiamo che:

\[ \lim_{ k \to + \infty } { k^{\frac{1}{k}}} = \lim_{k \to + \infty}{ e^{\frac{\ln (k)}{k}}} \underset{ \text{ De L'Hopital}} {=} e^{\lim_{k \to + \infty} {\frac{1}{k}}} = e^0 = 1\]

Quindi:

\[ \lim_{n \to + \infty} { \left( 2 n + \frac{3}{2} \right )^{\frac{1}{n}}} = \lim_{n \to + \infty} { \left [ \left( 2 n + \frac{3}{2} \right )^{\frac{1}{2n + \frac{3}{2}}} \right ]^{\frac{ 2n + \frac{3}{2}}{n}}} = 1^2 = 1 \]

[Magma1]

$lim_(n -> +oo ) (2n+3/2)^(1/n) $

$e^(lim_(n -> +oo ) 1/n ln(2n+3/2)$

però $lim_(n -> +oo ) ln(2n+3/2)/n$ è una forma indeterminata $oo/oo$

Passando alla funzione associata e applicando De L'Hospital

$lim_(x -> +oo ) (2/(2x+3/2))/1=0$

Quindi

$e^(lim_(n -> +oo ) 1/n ln(2n+3/2))=e^0=1$

[C.Falcon]

Molto bene ho capito i vostri ragionamenti, vi ringrazio Ho una domanda per Magma:

è possibile dire che $ lim_(n -> +oo ) ln(2n+3/2)/n $ è uguale a zero direttamente per gerarchia di infiniti (ossia perché la funzione y=n tende a infinito più velocemente della funzione logaritmo?
Grazie mille per il chiarimento

[Magma1]

Siano $a,b in (1,+oo)$
$alpha, beta in (0,+oo)$
e sia ${z_n}$ una successione in $(0, +oo)$ tale che $z_n -> +oo$; allora

$(log_n z_n)^beta < (z_n)^alpha < a^(z_n) < (z_n)! < (z_n)^(z_n)$

Dove $x_n+oo) x_n/y_n=0$