Risoluzione di un integrale improprio

[MementoMori2]

Salve ragazzi, sto risolvendo questo integrale improprio :

$ int_ (1)^ (+oo) log^ ( \alpha ) (2+x) / ( \ sqrt { x^2 -1}) $

La mia risoluzione è stata:
1) Dividere l'intervallo, dato che in x=1 la funzione va a + oo

$ int_ (1)^ (2) log^ ( \alpha ) (2+x) / ( \ sqrt { x^2 -1} ) $ + $ int_ (2)^ (+oo) log^ ( \alpha ) (2+x) / (\ sqrt { x^2 -1}) $

Successivamente ho posto $ \alpha $ >1

$ int_ (1)^ (2) log^ ( \alpha ) (2+x) / (\ sqrt { x^2 -1}) $ simile a $ int_ (1)^ (2) k / (\ sqrt { x^2 -1} ) $ con $ k>0 $
da ciò e usando l'integrale improprio notevole ricav o che converge

$int_ (2)^ (+oo) log^ ( \alpha ) (2+x) / (\ sqrt { x^2 -1} ) $ simile a $ int_ (2)^ (+oo) log^ ( \alpha ) (x) / x $ ergo applicando un altro integrale improprio ricavo che diverge

La stessa cosa l'ho fatta per $ \alpha $ <1 ricavandone che l'integrale converge.

E' giusto secondo voi tale metodo di risoluzione ? , grazie

[Raptorista1]

Per ora mi sembra corretto... Gli altri valori di \(\alpha\)?

[MementoMori2]

Allora ricontrollando, posso affermare che per per ogni $ \ alpha $ il primo integrale converge, mentra per -1< $\alpha $ <1 il secondo integrale diverge, quindi l'integrale da 1 a + oo diverge. Mentre $\alpha $ <-1 l'integrale converge

[Raptorista1]

Scusami, non avevo visto che l'avevi scritto in una riga nel primo messaggio

[MementoMori2]

Si, ma non era completamente corretto infatti per -1<$ \ alpha $ <1 l'integrale diverge

[Raptorista1]

Sì, ma volevo dire che non avevo nemmeno guardato quel caso perché pensavo non l'avessi fatto.

[MementoMori2]

Certo, comunque è corretta la risoluzione ?

[Raptorista1]

Sì, e nel caso in cui converge si può anche calcolare esplicitamente la primitiva.

[MementoMori2]

Giusto, grazie e buona giornata