Risoluzione di un integrale doppio, problema con il calcolo del dominio
Ciao ragazzi,
ho un problema con un esercizio sugli integrali doppi.
$\int int_D (x^2+y^2)e^[(x^2+y^2)^2]dxdy$ con $D={(x,y)inRR: x^2+y^2 <=4,$ $y<=-|x|}$
Allora ho pensato di utilizzare il cambiamento di variabili in coordinate polari:
${(x=\rhocos\theta),(y=\rhosen\theta):}$ con $rho>=0$ e $\theta in [0,2\pi]$
Adesso dovrei calcolarmi il nuovo dominio T:
${(x^2+y^2 <=4),(y<=-|x|):}$ $rArr$ ${(0<=\rho<=2),(sen\theta<=-|cos\theta|):}$
Ho risolto a parte la disequazione trigonometrica:
${(cos\theta>=0),(sen\theta<=-cos\theta):}$ $uu$ ${(cos\theta<0),(sen\theta<=cos\theta):}$
E se ho fatto i calcoli giusti la soluzione dovrebbe essere $(5/4)\pi<=\theta<=(7/4)\pi$ con $\theta!=(3/2)\pi$
Adesso non so calcolare l'integrale doppio con questo dominio, perchè non mi viene un dominio normale! Oppure ho sbagliato a calcolare $\theta$?
ho un problema con un esercizio sugli integrali doppi.
$\int int_D (x^2+y^2)e^[(x^2+y^2)^2]dxdy$ con $D={(x,y)inRR: x^2+y^2 <=4,$ $y<=-|x|}$
Allora ho pensato di utilizzare il cambiamento di variabili in coordinate polari:
${(x=\rhocos\theta),(y=\rhosen\theta):}$ con $rho>=0$ e $\theta in [0,2\pi]$
Adesso dovrei calcolarmi il nuovo dominio T:
${(x^2+y^2 <=4),(y<=-|x|):}$ $rArr$ ${(0<=\rho<=2),(sen\theta<=-|cos\theta|):}$
Ho risolto a parte la disequazione trigonometrica:
${(cos\theta>=0),(sen\theta<=-cos\theta):}$ $uu$ ${(cos\theta<0),(sen\theta<=cos\theta):}$
E se ho fatto i calcoli giusti la soluzione dovrebbe essere $(5/4)\pi<=\theta<=(7/4)\pi$ con $\theta!=(3/2)\pi$
Adesso non so calcolare l'integrale doppio con questo dominio, perchè non mi viene un dominio normale! Oppure ho sbagliato a calcolare $\theta$?
Risposte
Mi sono imbattuto per caso in questo post e mi sono pure iscritto al forum per risponderti 
Se disegni il dominio noterai che è formato da tutto il quarto di cerchio inferiore, senza nessuna esclusione. Quel dominio è normale sia in x che in y e il cambiamento di coordinate non può modificare l'insieme. Qualcosa non va.
Probabilmente hai dimenticato di fare l'unione delle due soluzioni. Infatti dal primo sistema dovresti ottenere:
$(3/2)\pi<=\theta<=(7/4)\pi$
e dal secondo:
$(5/4)\pi<=\theta<(3/2)\pi$
Ma, come giustamente hai scritto, per risolvere la disuguaglianza di partenza con il valore assoluto bisogna prendere l'unione delle due soluzioni ottenendo l'intervallo che è venuto a te senza buchi.
Tra l'altro, come ulteriore riprova, ti faccio notare che la disuguagliana $ sen\theta<=-|cos\theta| $ è vera anche per $\theta=(3/2)\pi$.
Saluti.
Se disegni il dominio noterai che è formato da tutto il quarto di cerchio inferiore, senza nessuna esclusione. Quel dominio è normale sia in x che in y e il cambiamento di coordinate non può modificare l'insieme. Qualcosa non va.
Probabilmente hai dimenticato di fare l'unione delle due soluzioni. Infatti dal primo sistema dovresti ottenere:
$(3/2)\pi<=\theta<=(7/4)\pi$
e dal secondo:
$(5/4)\pi<=\theta<(3/2)\pi$
Ma, come giustamente hai scritto, per risolvere la disuguaglianza di partenza con il valore assoluto bisogna prendere l'unione delle due soluzioni ottenendo l'intervallo che è venuto a te senza buchi.
Tra l'altro, come ulteriore riprova, ti faccio notare che la disuguagliana $ sen\theta<=-|cos\theta| $ è vera anche per $\theta=(3/2)\pi$.
Saluti.
Disegna il dominio.
Potrai vedere subito che il $theta$ varia tra $5/4 pi$ e $7/4 pi$, estremi inclusi.
Potrai vedere subito che il $theta$ varia tra $5/4 pi$ e $7/4 pi$, estremi inclusi.
Grazie mille ad entrambi!!!! poi col disegno ho capito che andava bene tutto l'intervallo. Nella prima disequazione dovevo sempre escludere in teoria $theta=(3/2)\pi$ perchè dividevo per coseno, e dovevo imporre che fosse diverso da zero. Boohh...
poi col disegno ho capito che andava bene tutto l'intervallo. Nella prima disequazione dovevo sempre escludere in teoria $theta=(3/2)\pi$ perchè dividevo per coseno, e dovevo imporre che fosse diverso da zero. Boohh...
E' giusto che dovevi escludere $theta=(3/2)\pi$ perchè altrimenti dividevi per zero, ma così facendo stai escludendo una possibile soluzione (quella che ti rende nullo il coseno) e ti devi accertare separatemente (provandola direttamente) se invece soddisfava la disequazione di partenza.
E' come se tu avessi $x(x+1)=0$. Se poni $x!=0$ e dividi per x ottieni $x+1=0$, ma così facendo escludi la soluzione $x=0$ perchè la divisione ti restringe il campo delle possibili soluzioni se la imponi.
Se, ad esempio, avessi usato il metodo grafico per la risoluzione della disequazioni goniometrica omogenea il problema non si sarebbe posto.
E' come se tu avessi $x(x+1)=0$. Se poni $x!=0$ e dividi per x ottieni $x+1=0$, ma così facendo escludi la soluzione $x=0$ perchè la divisione ti restringe il campo delle possibili soluzioni se la imponi.
Se, ad esempio, avessi usato il metodo grafico per la risoluzione della disequazioni goniometrica omogenea il problema non si sarebbe posto.
fantastico! adesso ho veramente capito, grazie mille!!! 
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