Risoluzione di un integrale abeliano
Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo integrale \[\int \frac{\sqrt{(4x^2+1)}}{x} \, dx\]
Secondo WolframAlpha viene così:
\[\int \frac{\sqrt{4 x^2+1}}{x} \, dx=\left(\sqrt{4 x^2+1}-\log \left(\sqrt{4 x^2+1}+1\right)+\log (x)\right)\]
Ora, ho cliccato "show steps" e i passaggi mi pare di averli capiti, il punto è che io l'avevo risolto in un altro modo e non capisco dove sbaglio (probabilmente è un errore grave perché l'ho cercato un sacco e non l'ho trovato, ergo non è una distrazione ma è concettuale):
\[\int \frac{\sqrt{(4x^2+1)}}{x} \, dx\]
Pongo \(2x=t\), quindi \(dx=\frac{1}{2}t\), e viene
\[\int \frac{\sqrt{t^2+1}}{t} \, dt\]
Poi pongo \(t=sinh(s)\), quindi \(dt=cosh(s)ds\). Sostituisco
\[\int \frac{\cosh(s) (\sqrt{\sinh(s)^2+1})}{\sinh(s)} \, ds=\int \frac{\cosh(s)^2}{\sinh(s)} \, ds=\int \frac{\cosh(s)^2}{\sinh(s)^2} \, \sinh(s) ds\]
Ora pongo \(cosh(s)=y\); l'ultimo passaggio è servito per il differenziale: \(dy=sinh(s)ds\)
\[\int \frac{y^2}{y^2-1} \, dy=\int \left(\frac{1}{y^2-1}+1\right) \, dy=\]
e qui risolvo facilmente in \(dy\) (il passaggio è giusto: conferma WolframAlpha)
\[=y+\frac{1}{2} \log (1-y)-\frac{1}{2} \log (y+1)\]
Ora devo solo sostituire la y? (questo punto è l'unico che mi viene in mente dove potrei aver sbagliato)
\(y=cosh(s), s=arcsinh(t), t=2x\)
\(y=cosh(s), s=arcsinh(2x)\)
\(y=cosh(arcsinh(2x))=\sqrt{4x^2+1}\) (possibile errore?)
Sostituisco allora \(y=\sqrt{4x^2+1}\)
\[\sqrt{4x^2+1}+\frac{1}{2} \log (1-\sqrt{4x^2+1})-\frac{1}{2} \log (\sqrt{4x^2+1}+1)\]
Che è diverso da quanto mi ha restituito WolframAlpha (anche lavorando algebricamente i risultati non coincidono).
Qualcuno sa dirmi perché?
Secondo WolframAlpha viene così:
\[\int \frac{\sqrt{4 x^2+1}}{x} \, dx=\left(\sqrt{4 x^2+1}-\log \left(\sqrt{4 x^2+1}+1\right)+\log (x)\right)\]
Ora, ho cliccato "show steps" e i passaggi mi pare di averli capiti, il punto è che io l'avevo risolto in un altro modo e non capisco dove sbaglio (probabilmente è un errore grave perché l'ho cercato un sacco e non l'ho trovato, ergo non è una distrazione ma è concettuale):
\[\int \frac{\sqrt{(4x^2+1)}}{x} \, dx\]
Pongo \(2x=t\), quindi \(dx=\frac{1}{2}t\), e viene
\[\int \frac{\sqrt{t^2+1}}{t} \, dt\]
Poi pongo \(t=sinh(s)\), quindi \(dt=cosh(s)ds\). Sostituisco
\[\int \frac{\cosh(s) (\sqrt{\sinh(s)^2+1})}{\sinh(s)} \, ds=\int \frac{\cosh(s)^2}{\sinh(s)} \, ds=\int \frac{\cosh(s)^2}{\sinh(s)^2} \, \sinh(s) ds\]
Ora pongo \(cosh(s)=y\); l'ultimo passaggio è servito per il differenziale: \(dy=sinh(s)ds\)
\[\int \frac{y^2}{y^2-1} \, dy=\int \left(\frac{1}{y^2-1}+1\right) \, dy=\]
e qui risolvo facilmente in \(dy\) (il passaggio è giusto: conferma WolframAlpha)
\[=y+\frac{1}{2} \log (1-y)-\frac{1}{2} \log (y+1)\]
Ora devo solo sostituire la y? (questo punto è l'unico che mi viene in mente dove potrei aver sbagliato)
\(y=cosh(s), s=arcsinh(t), t=2x\)
\(y=cosh(s), s=arcsinh(2x)\)
\(y=cosh(arcsinh(2x))=\sqrt{4x^2+1}\) (possibile errore?)
Sostituisco allora \(y=\sqrt{4x^2+1}\)
\[\sqrt{4x^2+1}+\frac{1}{2} \log (1-\sqrt{4x^2+1})-\frac{1}{2} \log (\sqrt{4x^2+1}+1)\]
Che è diverso da quanto mi ha restituito WolframAlpha (anche lavorando algebricamente i risultati non coincidono).
Qualcuno sa dirmi perché?
Risposte
C'è solo un errore, grave, e poi se non si conoscono le proprietà dei logaritmi anche due cose perfettamente uguali sembrano diverse.
L'errore è che in un integrale il logaritmo va in modulo, quindi non \[y+\frac{1}{2} \log (1-y)-\frac{1}{2} \log (y+1)\] bensì \[y+\frac{1}{2} \log |1-y|-\frac{1}{2} \log (y+1)\] e poichè \(cosh(s)=y\), allora $y>1$ e quindi diventa \[y+\frac{1}{2} \log (y-1)-\frac{1}{2} \log (y+1)\]
Il risultato che ottieni alla fine sarà quindi
\[\sqrt{4x^2+1}+\frac{1}{2} \log (\sqrt{4x^2+1}-1)-\frac{1}{2} \log (\sqrt{4x^2+1}+1)\]
Questo applicando le proprietà dei logaritmi differisce dal risultato di WA per una costante.
$1/2 log(sqrt(4x^2+1)-1)-1/2log(sqrt(4x^2+1)+1)=$
$=1/2 log((sqrt(4x^2+1)-1)/(sqrt(4x^2+1)+1))=$ moltiplicando numeratore e denominatore per $(sqrt(4x^2+1)+1)$ ottieni
$=1/2 log((4x^2)/(sqrt(4x^2+1)+1)^2)=$ ovvero
$=1/2 log((2x)/(sqrt(4x^2+1)+1))^2=$
$=log (2x) - log(sqrt(4x^2+1)+1) =$
$= log2+logx-log(sqrt(4x^2+1)+1)$
L'errore è che in un integrale il logaritmo va in modulo, quindi non \[y+\frac{1}{2} \log (1-y)-\frac{1}{2} \log (y+1)\] bensì \[y+\frac{1}{2} \log |1-y|-\frac{1}{2} \log (y+1)\] e poichè \(cosh(s)=y\), allora $y>1$ e quindi diventa \[y+\frac{1}{2} \log (y-1)-\frac{1}{2} \log (y+1)\]
Il risultato che ottieni alla fine sarà quindi
\[\sqrt{4x^2+1}+\frac{1}{2} \log (\sqrt{4x^2+1}-1)-\frac{1}{2} \log (\sqrt{4x^2+1}+1)\]
Questo applicando le proprietà dei logaritmi differisce dal risultato di WA per una costante.
$1/2 log(sqrt(4x^2+1)-1)-1/2log(sqrt(4x^2+1)+1)=$
$=1/2 log((sqrt(4x^2+1)-1)/(sqrt(4x^2+1)+1))=$ moltiplicando numeratore e denominatore per $(sqrt(4x^2+1)+1)$ ottieni
$=1/2 log((4x^2)/(sqrt(4x^2+1)+1)^2)=$ ovvero
$=1/2 log((2x)/(sqrt(4x^2+1)+1))^2=$
$=log (2x) - log(sqrt(4x^2+1)+1) =$
$= log2+logx-log(sqrt(4x^2+1)+1)$
Tu sei una santa, davvero grazie! 
Posso chiederti un'altra cosa che non ho ancora ben chiara, a costo di sembrare poco furbo?
Quando noi ci chiediamo il risultato dell'integrale iniziale, ci chiediamo quale (quali) funzione derivata dia la funzione integranda. Ora, se io pongo \(x=\frac{t}{2}\) c'è una bigezione fra la funzione \(f(x)=x\) e la funzione \(g(t)=\frac{t}{2}\) (questo significa che per ogni x trovo una e una sola t, quindi mi è chiaro che è un passaggio lecito). Lo stesso accade se pongo \(t=\sinh(s)\), c'è una bigezione fra \(s\) e \(arcsinh(t)\).
Però, nel momento in cui pongo \(y=\cosh(s)\), per due \(s\) distinti posso ottenere una coppia di valori uguali (stessa cosa se avessi posto \(y=s^2\)), perché non c'è una bigezione tra le due funzioni. Questo non crea dei problemi?
Posso chiederti un'altra cosa che non ho ancora ben chiara, a costo di sembrare poco furbo?
Quando noi ci chiediamo il risultato dell'integrale iniziale, ci chiediamo quale (quali) funzione derivata dia la funzione integranda. Ora, se io pongo \(x=\frac{t}{2}\) c'è una bigezione fra la funzione \(f(x)=x\) e la funzione \(g(t)=\frac{t}{2}\) (questo significa che per ogni x trovo una e una sola t, quindi mi è chiaro che è un passaggio lecito). Lo stesso accade se pongo \(t=\sinh(s)\), c'è una bigezione fra \(s\) e \(arcsinh(t)\).
Però, nel momento in cui pongo \(y=\cosh(s)\), per due \(s\) distinti posso ottenere una coppia di valori uguali (stessa cosa se avessi posto \(y=s^2\)), perché non c'è una bigezione tra le due funzioni. Questo non crea dei problemi?
In teoria sì, in pratica fintanto che calcoli integrali indefiniti va tutto bene, se dovessi calcolare integrali definiti, invece, i problemi nascono e conviene calcolare a parte l'integrale indefinito per poi tornare a quello definito con la variabile iniziale.
Da quello che ho visto gli esercizi sugli integrali definiti spesso sono fatti in modo che tornino i conti (per esempio a volte ti mettono da integrare una funzione pari da -k a k, che è 2 volte l'integrale della stessa da 0 a k), o almeno spero che siano così bravi...
Grazie ancora!
Grazie ancora!
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