Risoluzione di un integrale
Buongiorno a tutti.
Sono due giorni che provo a risolvere un integrale ma nulla. Ho provato per parti e per sostituzione ma è un cane che si morde la coda. Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?
\(\displaystyle \int e^x \sqrt[3]{(x-1)^2}\,dx \)
Grazie mille a tutti.
Sono due giorni che provo a risolvere un integrale ma nulla. Ho provato per parti e per sostituzione ma è un cane che si morde la coda. Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?
\(\displaystyle \int e^x \sqrt[3]{(x-1)^2}\,dx \)
Grazie mille a tutti.
Risposte
Io ho risolto così:
Integro per parti quindi $\int f’g=fg-\int g’f$
Dove $f’=(x-1)^(1/3)$ $ f=3/4 (x-1)^(4/3)$ $g=e^x $ $ g’=e^x$
Quindi $\int e^x(x-1)^(1/3) dx = 3/4*(x-1)^(4/3)e^3-3/4\int e^x(x-1)^(4/3) dx$
Ora integro di nuovo per parti ma integro e^x e derivo l’altra:
$\int f’g=fg-\int g’f$
$f’=e^x$ $f=e^x$ $g=(x-1)^(4/3)$ $g’=4/3(x-1)^(1/3)$
Ottengo quindi in definitiva $\int e^x(x-1)^(1/3) dx = 3/4*(x-1)^(4/3)e^3-3/4(e^x(x-1)^(4/3)-\int 4/3(x-1)^(1/3)e^x)dx$
E ora porto i due integrali a sinistra e mi accorgo che hanno la stessa integranda:
$4/3\int e^x(x-1)^(1/3) dx+\int e^x(x-1)^(1/3) dx)=-3/4(x-1)^(4/3)e^x-3/4e^x(x-1)^(4/3)$
Quindi $\int e^x(x-1)^(1/3) dx=3/7(-3/4(x-1)^(4/3)e^x-3/4e^x(x-1)^(4/3))$
Integro per parti quindi $\int f’g=fg-\int g’f$
Dove $f’=(x-1)^(1/3)$ $ f=3/4 (x-1)^(4/3)$ $g=e^x $ $ g’=e^x$
Quindi $\int e^x(x-1)^(1/3) dx = 3/4*(x-1)^(4/3)e^3-3/4\int e^x(x-1)^(4/3) dx$
Ora integro di nuovo per parti ma integro e^x e derivo l’altra:
$\int f’g=fg-\int g’f$
$f’=e^x$ $f=e^x$ $g=(x-1)^(4/3)$ $g’=4/3(x-1)^(1/3)$
Ottengo quindi in definitiva $\int e^x(x-1)^(1/3) dx = 3/4*(x-1)^(4/3)e^3-3/4(e^x(x-1)^(4/3)-\int 4/3(x-1)^(1/3)e^x)dx$
E ora porto i due integrali a sinistra e mi accorgo che hanno la stessa integranda:
$4/3\int e^x(x-1)^(1/3) dx+\int e^x(x-1)^(1/3) dx)=-3/4(x-1)^(4/3)e^x-3/4e^x(x-1)^(4/3)$
Quindi $\int e^x(x-1)^(1/3) dx=3/7(-3/4(x-1)^(4/3)e^x-3/4e^x(x-1)^(4/3))$
Mi sa che hai considerato 1/3 e non 2/3. Facendo comunque lo stesso procedimento giungo a un'indeterminazione 0 = 0
Temo che non abbia una soluzione elementare, e bisogna coinvolgere la funzione gamma.
In sostanza, non lo risolvi. Attendo conferme.
In sostanza, non lo risolvi. Attendo conferme.
Confermo, in particolare la funzione gamma incompleta superiore $\Gamma(a, x) := int_x^{+\infty} t^{a - 1} e^{- t} dt $
Infatti, integrando per parti considerando $f = \root[3]{(x-1)^2} $ come fattore finito e $dg = e^x dx $ come fattore differenziale si ha:
$ \int e^x \root[3]{(x-1)^2} dx = \root[3]{(x-1)^2} e^x - \int frac{2e^x}{3 \root[3]{x-1} } dx = \root[3]{(x-1)^2} e^x + 2/3 \int frac{e^x}{\root[3]{1 - x}} dx = $
$ = \root[3]{(x-1)^2} e^x + \frac{2e}{3} \int frac{e^{-(1 - x)}}{\root[3]{1 - x}} dx = \root[3]{(x-1)^2} e^x + \frac{2e}{3} \int (1 - x)^{- 1/3}e^{- (1 - x)} dx = $
$ = \root[3]{(x-1)^2} e^x + \frac{2e}{3} \int (1 - x)^{2/3 - 1}e^{- (1 - x)} dx = \root[3]{(x-1)^2} e^x + \frac{2e}{3} \Gamma(2/3, 1 - x) + c $
Infatti, integrando per parti considerando $f = \root[3]{(x-1)^2} $ come fattore finito e $dg = e^x dx $ come fattore differenziale si ha:
$ \int e^x \root[3]{(x-1)^2} dx = \root[3]{(x-1)^2} e^x - \int frac{2e^x}{3 \root[3]{x-1} } dx = \root[3]{(x-1)^2} e^x + 2/3 \int frac{e^x}{\root[3]{1 - x}} dx = $
$ = \root[3]{(x-1)^2} e^x + \frac{2e}{3} \int frac{e^{-(1 - x)}}{\root[3]{1 - x}} dx = \root[3]{(x-1)^2} e^x + \frac{2e}{3} \int (1 - x)^{- 1/3}e^{- (1 - x)} dx = $
$ = \root[3]{(x-1)^2} e^x + \frac{2e}{3} \int (1 - x)^{2/3 - 1}e^{- (1 - x)} dx = \root[3]{(x-1)^2} e^x + \frac{2e}{3} \Gamma(2/3, 1 - x) + c $
"xmonnalisax":
Sono due giorni che provo a risolvere un integrale ma nulla. Ho provato per parti e per sostituzione ma è un cane che si morde la coda. Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?
\[
\int e^x\ \sqrt[3]{(x-1)^2}\ \text{d}x
\]
Che dice il testo dell'esercizio?
Sei sicura che ci sia bisogno di calcolare esplicitamente l'integrale indefinito per risolvere?
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