Risoluzione di un gruppo di limiti

[anonymous_9a70ee]

Buongiorno, sto preparando l'esame di analisi I e ho difficoltà a trovare una risoluzione a questo gruppo di limiti. Presumo che la loro risoluzione sia uguale...qualcuno mi saprebbe dare una dritta? Eccoli di seguito:

$\lim_{n \to 0}(x^2 arcsin(e^x - 1))/(x - sinx)$

$\lim_{n \to 0}(x^2 arcsin(e^x - 1))/(sinx - x)$

$\lim_{n \to 0}(x^2 arcsin(1 - e^x))/(sinx - x)$

$\lim_{n \to 0}(x^2 arcsin(1 - e^x))/(x - sinx)$

Come potete notare, sono simili. Il prof. non ha fatto una risoluzione, ha solo detto che il risultato è -6. Ho provato molte risoluzioni, ma non ho trovato nessun risultato con quello indicato. Qualche dritta cortesemente? Grazie

M.

P.S.: Ho un altro gruppo di limiti....

$\lim_{n \to +inf} ((sqrt(x-1))-(sqrt(x-2))) / ((sqrt(x-2)) - (sqrt(x-3)))$ Risultato 1

$\lim_{n \to +inf} ((sqrt(x+1))-(sqrt(x+2))) / ((sqrt(x+2)) - (sqrt(x+2)))$ Non esiste

$\lim_{n \to +inf} ((sqrt(x+1))-(sqrt(x-2))) / ((sqrt(x+2)) - (sqrt(x-3)))$ Risultato $3/5$

$\lim_{n \to +inf} ((sqrt(x-1))-(sqrt(x+2))) / ((sqrt(x-2)) - (sqrt(x+3)))$ Risultato $3/5$

Anche in questo caso, non riesco arrivare a risoluzioni, continua a inalberarmi...

[@melia]

$ \lim_{x \to 0}(x^2 arcsin(e^x - 1))/(x - sinx) $
$x-sinx$ è infinitesimo del terzo ordine, in pratica applicando L'Hospital a $lim(x->0) x^3/(x-sinx)$ ottieni $6$, quindi puoi spezzare il limite nella forma
$lim(x->0) x^3/(x-sinx)* (arcsin(e^x-1))/x=$
$=lim(x->0) x^3/(x-sinx)* lim(x->0) (arcsin(e^x-1))/x =$
$= 6*lim(x->0) (arcsin(e^x-1))/x = 6*1= 6$
l'ultimo limite viene $1$ con L'Hospital in un passaggio.
Per gli altri ci sono solo differenze di segno.


$ \lim_{x \to +oo} ((sqrt(x-1))-(sqrt(x-2))) / ((sqrt(x-2)) - (sqrt(x-3))) $ in questi limiti credo che sia conveniente prima razionalizzare
$ \lim_{x \to +oo} ((sqrt(x-1))-(sqrt(x-2))) / ((sqrt(x-2)) - (sqrt(x-3))) *((sqrt(x-1))+(sqrt(x-2)))/((sqrt(x-1))+(sqrt(x-2)))*((sqrt(x-2)) + (sqrt(x-3)))/((sqrt(x-2)) + (sqrt(x-3)))=$
$= \lim_{x \to +oo} (x-1-x+2) / (x-2-x+3)*((sqrt(x-2)) + (sqrt(x-3)))/((sqrt(x-1))+(sqrt(x-2)))=$ e poi raccogliere $sqrtx$
$=\lim_{x \to +oo} 1*(sqrtx(sqrt(1-2/x) + sqrt(1-3/x)))/(sqrtx(sqrt(1-1/x)+sqrt(1-2/x)))$ semplificata la $sqrtx$, risulta $1$

lo stesso procedimento vale per il terzo e il quarto, mentre il secondo ha il denominatore che VALE $0$ perché è una sottrazione tra due termini uguali.

[anonymous_9a70ee]

Grazie mille per la risposta! Per il primo gruppo ok, mi sfugge solo una cosa: il limite che hai scomposto $(x^3) / (x - sinx)$ non capisco se è un limite notevole.

Per l'ultimo gruppo invece, mi sfugge qualcosa sulla razionalizzazione: in particolare, perchè la applichi sia per il numeratore che per il denominatore? Grazie per le delucidazioni

M.

P.S.: Mi stavo dimenticando, cosa dovrei scrivere per il limite che "non esiste"in modo "matematichese"? Va bene un "Il limite non esiste in quanto il denominatore è nullo"?

P.S.: mi sfugge anche perchè si raccoglie $sqrt(x)$: non potevo farlo direttamente all'inizio (RISPOSTA: no perchè sono differenze e verrebbe fuori un $0 / 0$)