Risoluzione di limiti di funzioni in 2 o 3 variabili
Salve ragazzi,
molto spesso nella risoluzione di limiti all'infinito di funzioni in 2 o 3 variabili mi capita di ritrovarmi ad usare il teorema del confronto o dei carabinieri (per dimostrare l'esistenza del limite e dunque il suo valore), e una delle funzioni minorante o maggiorante si presenta in una sola variabile.
A questo punto però, per applicare i teoremi suddetti, dovrei sempre fare il limite per $ x^2 + y^2 -> \infty$ oppure $x^2 + y^2 +z^2 -> \infty$ stando ristretti nel dominio in cui si lavora. Ora, per il caso in due variabili(quindi grafici in 3D), sono riuscito a spiegarmi che fare questo limite equivale a fare (in termini di risultato) il limite monovariabile facendo tendere la singola variabile a $+\infty$ o $-\infty$. Questo perchè i grafici 3D di funzioni in una sola variabile altro non sono che grafici le cui fattezze sono visibili pienamente sul solo piano z-x,e l'estensione 3D la si ottiene proiettando tal profilo a tutte le y. Dunque se il sottodominio su cui si vuol calcolare il limite si trova ad esempio in una zona ubicata nel primo o quarto quadrante del piano x-y farò il limite per $x->+\infty$, viceversa se il sottodominio si trova sul secondo o terzo quadrante farò il limite per $x->-\infty$. L'importante è che il sottodominio non intersechi l'asse y: ma in questo caso basterebbe riapplicare il procedimento cercando di ottenere una funzione in y nella minorazione/maggiorazione.
La spiegazione è molto intuitiva, ma a pensarci bene (date le fattezze dei grafici monovariabili in 3D) un omino che parta dall'origine e segua una qualsivoglia direzione per andare all'infinito (sempre mantenendosi nel sottodomino), alla fine dovrà per forza arrivare al limite che si otteneva in una sola variabile: il grafico, infatti, non permette "scherzi", cioè curve strane che possano darci un altro valore del limite.
Quindi chiedo a qualcuno più esperto magari, se questa spiegazione intuitiva è corretta e dunque applicabile negli esercizi. Ma soprattutto se la stessa cosa può essere pensata in 3 variabili, dove i grafici dovrebbero essere in "4D" e dunque l'interpretazione geometrica è alquanto improbabile.
Riporto 2 esempi per miglior comprensione di quanto esposto.
1) il sottodominio su cui lavorare è $\sqrtx<=y<=x$ e la funzione è $(y^6)/(1+ x^2 + y^2)$
In tal sottodominio vale la seguente disuguaglianza:
$(y^6)/(1 + x^2 + y^2) >= (x^3)/(1 + 2x^2)$
Dunque secondo quanto sopra esposto, il limite della funzione $(x^3)/(1 + 2x^2)$ per $ x^2 + y^2 -> \infty$ stando nel sottodomino su riportato è uguale al limite per $x->+\infty$, che fa $+\infty$ e dunque per il th. del confronto questo è anche il limite della funzione a monte.
2)il sottodominio su cui lavorare è $x>=1 , y>=1 , z>=1$ e la funzione è $x/(1+x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)$.
In tal sottodominio vale la disuguaglianza:
$0<=x/(1+x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)<= 1/(2x)$
il limite della funzione $1/(2x)$ per $x^2 + y^2 +z^2 -> + \infty$ stando nel sottodomino è uguale al limite per $x->+\infty$.
Dunque, per il teorema dei carabinieri, il limite a monte vale 0.
molto spesso nella risoluzione di limiti all'infinito di funzioni in 2 o 3 variabili mi capita di ritrovarmi ad usare il teorema del confronto o dei carabinieri (per dimostrare l'esistenza del limite e dunque il suo valore), e una delle funzioni minorante o maggiorante si presenta in una sola variabile.
A questo punto però, per applicare i teoremi suddetti, dovrei sempre fare il limite per $ x^2 + y^2 -> \infty$ oppure $x^2 + y^2 +z^2 -> \infty$ stando ristretti nel dominio in cui si lavora. Ora, per il caso in due variabili(quindi grafici in 3D), sono riuscito a spiegarmi che fare questo limite equivale a fare (in termini di risultato) il limite monovariabile facendo tendere la singola variabile a $+\infty$ o $-\infty$. Questo perchè i grafici 3D di funzioni in una sola variabile altro non sono che grafici le cui fattezze sono visibili pienamente sul solo piano z-x,e l'estensione 3D la si ottiene proiettando tal profilo a tutte le y. Dunque se il sottodominio su cui si vuol calcolare il limite si trova ad esempio in una zona ubicata nel primo o quarto quadrante del piano x-y farò il limite per $x->+\infty$, viceversa se il sottodominio si trova sul secondo o terzo quadrante farò il limite per $x->-\infty$. L'importante è che il sottodominio non intersechi l'asse y: ma in questo caso basterebbe riapplicare il procedimento cercando di ottenere una funzione in y nella minorazione/maggiorazione.
La spiegazione è molto intuitiva, ma a pensarci bene (date le fattezze dei grafici monovariabili in 3D) un omino che parta dall'origine e segua una qualsivoglia direzione per andare all'infinito (sempre mantenendosi nel sottodomino), alla fine dovrà per forza arrivare al limite che si otteneva in una sola variabile: il grafico, infatti, non permette "scherzi", cioè curve strane che possano darci un altro valore del limite.
Quindi chiedo a qualcuno più esperto magari, se questa spiegazione intuitiva è corretta e dunque applicabile negli esercizi. Ma soprattutto se la stessa cosa può essere pensata in 3 variabili, dove i grafici dovrebbero essere in "4D" e dunque l'interpretazione geometrica è alquanto improbabile.
Riporto 2 esempi per miglior comprensione di quanto esposto.
1) il sottodominio su cui lavorare è $\sqrtx<=y<=x$ e la funzione è $(y^6)/(1+ x^2 + y^2)$
In tal sottodominio vale la seguente disuguaglianza:
$(y^6)/(1 + x^2 + y^2) >= (x^3)/(1 + 2x^2)$
Dunque secondo quanto sopra esposto, il limite della funzione $(x^3)/(1 + 2x^2)$ per $ x^2 + y^2 -> \infty$ stando nel sottodomino su riportato è uguale al limite per $x->+\infty$, che fa $+\infty$ e dunque per il th. del confronto questo è anche il limite della funzione a monte.
2)il sottodominio su cui lavorare è $x>=1 , y>=1 , z>=1$ e la funzione è $x/(1+x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)$.
In tal sottodominio vale la disuguaglianza:
$0<=x/(1+x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)<= 1/(2x)$
il limite della funzione $1/(2x)$ per $x^2 + y^2 +z^2 -> + \infty$ stando nel sottodomino è uguale al limite per $x->+\infty$.
Dunque, per il teorema dei carabinieri, il limite a monte vale 0.
Risposte
Up!
la descrizione sintetica e' un po' approssimativa ma la parte operativa va bene.
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