Risoluzione di limite con logaritmo
Buongiorno, sono uno studente del primo anno e l'esame di matematica é alle porte.
Questo limite che ho trovato sull'eserciziario mi sta creando un po' di problemi
$lim_(x->0)(x*(1+(ln|x|)^2)$
Potreste consigliarmi sul come procedere, visto che non riesco a uscire dalla forma indeterminata?
Grazie
Questo limite che ho trovato sull'eserciziario mi sta creando un po' di problemi
$lim_(x->0)(x*(1+(ln|x|)^2)$
Potreste consigliarmi sul come procedere, visto che non riesco a uscire dalla forma indeterminata?
Grazie
Risposte
Cosa hai provato?
Avevo provato sia a dividere il limite sfruttando la proprietà del limite di un prodotto che è uguale al prodotto tra limiti, e sia de l'Hôpital che però si applica ai rapporti. Non so proprio come saltarci fuori
Beh, si possono fare varie cosette…
Visto che il limite è in forma indeterminata $0*oo$, si può ricondurre o alla forma $0/0$ o a $oo/oo$ in modo standard ed applicare il teorema di de l'Hopital.
Oppure, si può porre $y = - log |x|$ e perciò $y -> + oo$ ed $x = e^(-y)$ o $x = - e^(-y)$ a seconda che $x-> 0^+$ o $x -> 0^-$; quindi:
$lim_(x -> 0^(+-)) x*(1 + log^2 |x|) = lim_(y -> +oo) +- e^(-y)*(1 + y^2) = lim_(y -> +oo) +- (1 + y^2)/e^y = 0$
per gerarchia degli infiniti.
Visto che il limite è in forma indeterminata $0*oo$, si può ricondurre o alla forma $0/0$ o a $oo/oo$ in modo standard ed applicare il teorema di de l'Hopital.
Oppure, si può porre $y = - log |x|$ e perciò $y -> + oo$ ed $x = e^(-y)$ o $x = - e^(-y)$ a seconda che $x-> 0^+$ o $x -> 0^-$; quindi:
$lim_(x -> 0^(+-)) x*(1 + log^2 |x|) = lim_(y -> +oo) +- e^(-y)*(1 + y^2) = lim_(y -> +oo) +- (1 + y^2)/e^y = 0$
per gerarchia degli infiniti.
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