Risoluzione di limite
Non utilizzando Taylor come è possibile risolvere questo limite:
$\lim_{x \to 0}(e^x-1-sin(x))/(sin(x)tan(x))$
$\lim_{x \to 0}(e^x-1-sin(x))/(sin(x)tan(x))$
Risposte
Con i limiti notevoli ...
"axpgn":
Con i limiti notevoli ...
Provaci
Semplificando un pochino: il denominatore può diventare $ sin^2 x $ ( il coseno si può buttare come fattore tendente a $ 1 $).
Due passate di De l'Hopistal risolvono.
Ciao
C'ho provato ... dopo ... 
... una volta tanto che non volevo usare De L'Hopital ... 
... una volta tanto che non volevo usare De L'Hopital ...
L'unico modo per risolvere questo limite è Taylor od Hopital,
In fondo i due metodi, se si osserva attentamente, sono concettualmente equivalenti;
In fondo i due metodi, se si osserva attentamente, sono concettualmente equivalenti;
"orsoulx":
[quote="axpgn"]Con i limiti notevoli ...
Provaci
Semplificando un pochino: il denominatore può diventare $ sin^2 x $ ( il coseno si può buttare come fattore tendente a $ 1 $).
Due passate di De l'Hopistal risolvono.
Ciao[/quote]
Scusa la domanda scema, ma essendoci in gioco una forma indeterminata non dovrebbe essere possibile usare i classici teoremi riguardanti i limiti (il limite del prodotto è il prodotto dei limiti), quindi il coseno come lo elimini?
"orsoulx":
[quote="axpgn"]Con i limiti notevoli ...
Provaci
Semplificando un pochino: il denominatore può diventare $ sin^2 x $ ( il coseno si può buttare come fattore tendente a $ 1 $).
Due passate di De l'Hopistal risolvono.
[/quote]
Avevo provato ma niente! Lo avevo scomposto così:
$(e^x-1)/(sin^2 x/cosx)-(sin(x))/(sin^2 x/cosx)$
$(e^x-1)/((xsin(x))/x)cos(x)/sin(x)-cos(x)/sin(x)$
noto due limiti notevoli ma mi blocco su $cos(x)/sin(x)$, non capisco "il coseno si può buttare come fattore tendente a 1 due passate di De l'Hospital..". ma il teorema non si applica alla funzione tale e quale?
Se considerassi il $cos x" come $1$ non sarebbe più la stessa funzione.
Dove sbaglio?
"ThisMan":
essendoci in gioco una forma indeterminata non dovrebbe essere possibile usare i classici teoremi riguardanti i limiti (il limite del prodotto è il prodotto dei limiti),
Non mi pare esistano controindicazioni se il fattore (che moltiplica/divide tutta l'espressione) tende ad una quantità finita e diversa da zero.
Ciao
"orsoulx":
[quote="ThisMan"]essendoci in gioco una forma indeterminata non dovrebbe essere possibile usare i classici teoremi riguardanti i limiti (il limite del prodotto è il prodotto dei limiti),
Non mi pare esistano controindicazioni se il fattore (che moltiplica/divide tutta l'espressione) tende ad una quantità finita e diversa da zero.
Ciao[/quote]
Davvero?
Figata! Per caso possiedi una dimostrazione di questa cosa? Come risultato è veramente notevole!
x@zio_mangrovia
le trasformazioni che apporti sono fallaci, in quanto portano da una forma indeterminata $0/0$ a cui si può applicare Hopital ad una $infty-infty $, a cui non si può più applicare Hopital, quindi conviene lasciare il limite nella form a originale,
se si vuole semplificare un po la forma, a denominatore essendoci un prodotto, si possono usare gli a sintotici $sinx~~x$, ed $tanx~~x $, per cui il limite diventa:
$lim_(x->0)(e^x-1-sinx)/x^2$, ed applicando due volte Hopital si ottiene $=lim_(x->0)(e^x+sinx)/2=(e^0+0)/2=1/2$.
le trasformazioni che apporti sono fallaci, in quanto portano da una forma indeterminata $0/0$ a cui si può applicare Hopital ad una $infty-infty $, a cui non si può più applicare Hopital, quindi conviene lasciare il limite nella form a originale,
se si vuole semplificare un po la forma, a denominatore essendoci un prodotto, si possono usare gli a sintotici $sinx~~x$, ed $tanx~~x $, per cui il limite diventa:
$lim_(x->0)(e^x-1-sinx)/x^2$, ed applicando due volte Hopital si ottiene $=lim_(x->0)(e^x+sinx)/2=(e^0+0)/2=1/2$.
"francicko":
a denominatore essendoci un prodotto, si possono usare gli a sintotici $sinx~~x$, ed $tanx~~x $
Tutto chiaro ma non capisco in base a quale criterio si possa fare queste sostituzioni $sinx~~x$, ed $tanx~~x $ anche se intuitivamente lo si capisce. Conosco il criterio asintotico ma per studiare il carattere delle serie, integrali, ...
Davvero?
Figata! Per caso possiedi una dimostrazione di questa cosa? Come risultato è veramente notevole!
Allora. Son convinto che moltiplicare/dividere per $ cos(x) $ un limite per $ x $ tendente a zero, non modifichi la natura del limite: se non esiste continuerà a non esistere, se esiste continuerà a tendere al medesimo valore. Se non fosse vero sarei molto contento perché avrei imparato una cosa nuova e te ne sarei molto grato.
Invece di pretendere una dimostrazione, posta un controesempio e avrai fatto un'opera buona.
Ciao
Figata! Per caso possiedi una dimostrazione di questa cosa? Come risultato è veramente notevole!
Allora. Son convinto che moltiplicare/dividere per $ cos(x) $ un limite per $ x $ tendente a zero, non modifichi la natura del limite: se non esiste continuerà a non esistere, se esiste continuerà a tendere al medesimo valore. Se non fosse vero sarei molto contento perché avrei imparato una cosa nuova e te ne sarei molto grato.
Invece di pretendere una dimostrazione, posta un controesempio e avrai fatto un'opera buona.
Ciao
"zio_mangrovia":
[quote="francicko"]a denominatore essendoci un prodotto, si possono usare gli a sintotici $sinx~~x$, ed $tanx~~x $
Tutto chiaro ma non capisco in base a quale criterio si possa fare queste sostituzioni $sinx~~x$, ed $tanx~~x $ anche se intuitivamente lo si capisce. Conosco il criterio asintotico ma per studiare il carattere delle serie, integrali, ...[/quote]
Guarda, io l'equivalenza asintotica la spiegherei così. Prendi la funzione $f(t)$ dove è contenuta la funzione $g(x)$ che vuoi sostituire con un'altra funzione $h(x)$, per esempio
$f(t)=t/arcsin(t)$
$t=g(x)=sin(x)$
Se esegui lo sviluppo in serie di Taylor (anche al primo ordine che in sostanza corrispondono ai limiti notevoli) centrato in $x_0$ottieni una funzione $h(x)$ che in un intorno di $x_0$ si comporta come la funzione $g(x)$. Nell'esempio di prima prendo $x0=0$ e
$h(x)=x+o(x)=g(x)$
Considerando che g(x) e h(x) sono uguali in un intorno di $x_0$, quando faccio tendere il limite per $x_0$ posso benissimo scambiarli (sono uguali). Come spiegazione va bene secondo voi?
"orsoulx":
Davvero?
Figata! Per caso possiedi una dimostrazione di questa cosa? Come risultato è veramente notevole!
Allora. Son convinto che moltiplicare/dividere per $ cos(x) $ un limite per $ x $ tendente a zero, non modifichi la natura del limite: se non esiste continuerà a non esistere, se esiste continuerà a tendere al medesimo valore. Se non fosse vero sarei molto contento perché avrei imparato una cosa nuova e te ne sarei molto grato.
Invece di pretendere una dimostrazione, posta un controesempio e avrai fatto un'opera buona.
Ciao
In tutta sincerità non mi vengono in mente contro-esempi, in effetti, però, non avrebbe senso che in caso di forme indeterminate i teoremi sui limiti non valgano più, infatti le forme indeterminate sono sì probablematiche, ma non tutto ciò che ci sta intorno. Probabilmente ero convinto che non fosse possibile tirare fuori un pezzo della funzione per il fatto che solitamente quando si spezzano limiti che presentano forme indeterminate, solitamente ci si ritrova con una forma indeterminata
L'errore sta nel trattare il simbolo $infty $ come se fosse un numero, i teoremi sui limiti sono validi se tali limiti esistono e sono finiti!!
Se nelle forme in determinate del tipo $infty-infty $ ci comportiamo come se tali simboli sono dei valori numerici, allora si puo arrivare ad un errato valore del limite, $ Lim _(x->0)(e^x-1-x)/x^2$ $=lim(e^x-1)/x^2-lim (x/x^2) $ è una forma indeterminata $infty-infty $ quindi non possiamo dir nulla fin quanto persiste questa forma, se però trattiamo $infty $ ed $-infty $ come se fossero dei valori finiti, applicando gli asintotici,potremmo arrivate alla conclusione errata $lim_(x->0)1/x-lim_(x->0)(1/x)=0$
Se nelle forme in determinate del tipo $infty-infty $ ci comportiamo come se tali simboli sono dei valori numerici, allora si puo arrivare ad un errato valore del limite, $ Lim _(x->0)(e^x-1-x)/x^2$ $=lim(e^x-1)/x^2-lim (x/x^2) $ è una forma indeterminata $infty-infty $ quindi non possiamo dir nulla fin quanto persiste questa forma, se però trattiamo $infty $ ed $-infty $ come se fossero dei valori finiti, applicando gli asintotici,potremmo arrivate alla conclusione errata $lim_(x->0)1/x-lim_(x->0)(1/x)=0$
"francicko":
L'errore sta nel trattare il simbolo $infty $ come se fosse un numero, i teoremi sui limiti sono validi se tali limiti esistono e sono finiti!!
Se nelle forme in determinate del tipo $infty-infty $ ci comportiamo come se tali simboli sono dei valori numerici, allora si puo arrivare ad un errato valore del limite, $ Lim _(x->0)(e^x-1-x)/x^2$ $=lim(e^x-1)/x^2-lim (x/x^2) $ è una forma indeterminata $infty-infty $ quindi non possiamo dir nulla fin quanto persiste questa forma, se però trattiamo $infty $ ed $-infty $ come se fossero dei valori finiti, applicando gli asintotici,potremmo arrivate alla conclusione errata $lim_(x->0)1/x-lim_(x->0)(1/x)=0$
Mi sfugge una cosa del tuo ragionamentom, nel senso, i limiti notevoli ci dicono che esiste un intorno di $x_0$ in cui la funzione è uguale (a meno di un o-piccolo) alla funzione su cui si è applicato lo sviluppo. Ora, nell'esempio che tu hai riportato, spezzando il limite ed applicando i limiti notevoli non dovresti aver fatto nessun passaggio illegale e nel momento in cui ritrovi in
$lim_(x->0)1/x-lim_(x->0)(1/x)$
In effetti ti ritrovi di fronte allo stesso "infinito" (prendendo qualsiasi valutazione della funzione si annulla). Ovviamente in tutto questo è evidente che io abbia cannato qualcosa, ma non so cosa, in quanto se si fa un passaggio di De l'Hopital o si sviluppa ad un ordine superiore al primo il risultato del limite è $1/2$. Qualcuno mi illumina?
Sì, in effetti i passaggi sono corretti, ma portano sempre ad una forma indeterminata, su cui non si può dire nulla, tutto dipende dal fatto che a numeratore c'è una differenza, in cui si elidono i termini di primo grado in $x $, quindi entrano in gioco i termini di ordini di grado superiore che indichiamo con $o (x) $, e sono quelli che devono essere presi in considerazione in quanto non annullandosi permettono di eliminare l'indeterminazione e determinare il valore corretto del limite!
@ThisMan
Detto in altri termini, quei due "infiniti" che ti sembrano essere la stessa cosa (e che di conseguenza tendi ad annullare, semplicemente ...), in realtà non lo sono mai, ma non solo, in questo caso la loro differenza non tende nemmeno ad annullarsi però tende ad un valore costante (che sarà il nostro limite ...)
Detto in altri termini, quei due "infiniti" che ti sembrano essere la stessa cosa (e che di conseguenza tendi ad annullare, semplicemente ...), in realtà non lo sono mai, ma non solo, in questo caso la loro differenza non tende nemmeno ad annullarsi però tende ad un valore costante (che sarà il nostro limite ...)
"francicko":
Sì, in effetti i passaggi sono corretti, ma portano sempre ad una forma indeterminata, su cui non si può dire nulla, tutto dipende dal fatto che a numeratore c'è una differenza, in cui si elidono i termini di primo grado in $x $, quindi entrano in gioco i termini di ordini di grado superiore che indichiamo con $o (x) $, e sono quelli che devono essere presi in considerazione in quanto non annullandosi permettono di eliminare l'indeterminazione e determinare il valore corretto del limite!
Ottima risposta! Se si usano le equivalenze asintotiche e si annulla il polinomio restano soltanto gli o-piccoli che ovviamente non posso sapere in che modo sono fatti e quindi come trattarli
"axpgn":
@ThisMan
Detto in altri termini, quei due "infiniti" che ti sembrano essere la stessa cosa (e che di conseguenza tendi ad annullare, semplicemente ...), in realtà non lo sono mai, ma non solo, in questo caso la loro differenza non tende nemmeno ad annullarsi però tende ad un valore costante (che sarà il nostro limite ...)
"orsoulx":
[quote="axpgn"]Con i limiti notevoli ...
il denominatore può diventare $ sin^2 x $ ( il coseno si può buttare come fattore tendente a $ 1 $).
Ciao[/quote]
ci ripensavo , perché il coseno possiamo ignorarlo ? Il fatto che tenda ad $1$ come incide?
Non incide ...
Detto in modo molto grossolano se tu moltiplichi una quantita per un numero molto vicino a uno le apporterai un certo errore in più o in meno, se questo numero si avvicina ancor più a uno l'errore che apporti è sempre minore, se arrivi vicino a uno in modo infinitesimo anche l'errore che apporti sarà infinitesimo ...
Detto in modo molto grossolano se tu moltiplichi una quantita per un numero molto vicino a uno le apporterai un certo errore in più o in meno, se questo numero si avvicina ancor più a uno l'errore che apporti è sempre minore, se arrivi vicino a uno in modo infinitesimo anche l'errore che apporti sarà infinitesimo ...
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