Risoluzione di integrale di funzioni trigonometriche
Ciao a tutti,
Sto preparando Complementi di Meccanica Applicata alle Macchine e devo portare all'esame la derivazione dell'espressione della portanza per unità di larghezza del meato di una coppia rotoidale portante lubrificata (bronzina, per gli amici).
Tralasciando il contesto, il tutto si riduce a dover risolvere un'integrale di cui non riesco proprio a venire a capo, dato anche (mea culpa) il velo di ruggine sulla mie rimembranze di Analisi 1.
Ve lo riporto (ometto costanti reali moltiplicative di tutta l'espressione):
[size=150]
\(\int \frac{(2-\chi cos\theta) sen^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta \)[/size]
da svolgersi sull'intervallo \(\ [-\pi , \pi )\). Vi sarei infinitamente grato se qualcuno sapesse anche solo "indicarmi la strada", ovvero indicarmi una possibile sostituzione per risolvere l'integrale senza dover perdere i capelli con i calcoli.
Saluti e grazie in anticipo!
Sto preparando Complementi di Meccanica Applicata alle Macchine e devo portare all'esame la derivazione dell'espressione della portanza per unità di larghezza del meato di una coppia rotoidale portante lubrificata (bronzina, per gli amici).
Tralasciando il contesto, il tutto si riduce a dover risolvere un'integrale di cui non riesco proprio a venire a capo, dato anche (mea culpa) il velo di ruggine sulla mie rimembranze di Analisi 1.
Ve lo riporto (ometto costanti reali moltiplicative di tutta l'espressione):
[size=150]
\(\int \frac{(2-\chi cos\theta) sen^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta \)[/size]
da svolgersi sull'intervallo \(\ [-\pi , \pi )\). Vi sarei infinitamente grato se qualcuno sapesse anche solo "indicarmi la strada", ovvero indicarmi una possibile sostituzione per risolvere l'integrale senza dover perdere i capelli con i calcoli.
Saluti e grazie in anticipo!
Risposte
Quel $chi$ cosa rappresenta?
"anto_zoolander":
Quel $chi$ cosa rappresenta?
Intanto grazie per le risposte, il $chi$ rappresenta l'eccentricità del perno rispetto al cuscinetto, rapportata al gioco radiale. È quindi da vedersi come una quantità costante e positiva compresa nell'intervallo (0,1).
Ciao zumpabomba,
Innanzitutto benvenuto sul forum e complimenti per il nick...
Fermo restando che anch'io ti avrei consigliato le formule parametriche come ti ha già suggerito giustamente dissonance, osserverei preliminarmente che la funzione integranda è pari su un dominio simmetrico, quindi si ha:
$ \int_{-\pi}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = 2 \int_{0}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta $
Ora, se non ho fatto male i conti si ha:
$ \int \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = - frac{2}{sqrt{\chi^2 - 1}} tanh^{-1}[frac{(\chi + 1)tan(theta/2)}{sqrt{\chi^2 - 1}}] + frac{sin\theta cos\theta}{\chi cos\theta - 1} + c = $
$ = - frac{2}{i sqrt{1 - \chi^2}} tanh^{-1}[- i sqrt{frac{1 + \chi}{1 - \chi}} tan(theta/2)] - frac{sin\theta cos\theta}{1 - \chi cos\theta} + c $
$ = frac{2}{sqrt{1 - \chi^2}} arctan[sqrt{frac{1 + \chi}{1 - \chi}} tan(theta/2)] - frac{sin\theta cos\theta}{1 - \chi cos\theta} + c $
Quindi si ha:
$ \int_{0}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = [frac{2}{sqrt{1 - \chi^2}} arctan[sqrt{frac{1 + \chi}{1 - \chi}} tan(theta/2)] - frac{sin\theta cos\theta}{1 - \chi cos\theta}]_{0}^{\pi} = $
$ = frac{2}{sqrt{1 - \chi^2}} \cdot (frac{\pi}{2}) - 0 - 0 + 0 = frac{\pi}{sqrt{1 - \chi^2}}$
In definitiva si ha:
$ \int_{-\pi}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = 2 \int_{0}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = frac{2\pi}{sqrt{1 - \chi^2}} $
Innanzitutto benvenuto sul forum e complimenti per il nick...
Fermo restando che anch'io ti avrei consigliato le formule parametriche come ti ha già suggerito giustamente dissonance, osserverei preliminarmente che la funzione integranda è pari su un dominio simmetrico, quindi si ha:
$ \int_{-\pi}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = 2 \int_{0}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta $
Ora, se non ho fatto male i conti si ha:
$ \int \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = - frac{2}{sqrt{\chi^2 - 1}} tanh^{-1}[frac{(\chi + 1)tan(theta/2)}{sqrt{\chi^2 - 1}}] + frac{sin\theta cos\theta}{\chi cos\theta - 1} + c = $
$ = - frac{2}{i sqrt{1 - \chi^2}} tanh^{-1}[- i sqrt{frac{1 + \chi}{1 - \chi}} tan(theta/2)] - frac{sin\theta cos\theta}{1 - \chi cos\theta} + c $
$ = frac{2}{sqrt{1 - \chi^2}} arctan[sqrt{frac{1 + \chi}{1 - \chi}} tan(theta/2)] - frac{sin\theta cos\theta}{1 - \chi cos\theta} + c $
Quindi si ha:
$ \int_{0}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = [frac{2}{sqrt{1 - \chi^2}} arctan[sqrt{frac{1 + \chi}{1 - \chi}} tan(theta/2)] - frac{sin\theta cos\theta}{1 - \chi cos\theta}]_{0}^{\pi} = $
$ = frac{2}{sqrt{1 - \chi^2}} \cdot (frac{\pi}{2}) - 0 - 0 + 0 = frac{\pi}{sqrt{1 - \chi^2}}$
In definitiva si ha:
$ \int_{-\pi}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = 2 \int_{0}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = frac{2\pi}{sqrt{1 - \chi^2}} $
"pilloeffe":
Ciao zumpabomba,
Innanzitutto benvenuto sul forum e complimenti per il nick...
Fermo restando che anch'io ti avrei consigliato le formule parametriche come ti ha già suggerito giustamente dissonance, osserverei preliminarmente che la funzione integranda è pari su un dominio simmetrico, quindi si ha:
$ \int_{-\pi}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = 2 \int_{0}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta $
Ora, se non ho fatto male i conti si ha:
$ \int \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = - frac{2}{sqrt{\chi^2 - 1}} tanh^{-1}[frac{(\chi + 1)tan(theta/2)}{sqrt{\chi^2 - 1}}] + frac{sin\theta cos\theta}{\chi cos\theta - 1} + c = $
$ = - frac{2}{i sqrt{1 - \chi^2}} tanh^{-1}[- i sqrt{frac{1 + \chi}{1 - \chi}} tan(theta/2)] - frac{sin\theta cos\theta}{1 - \chi cos\theta} + c $
$ = frac{2}{sqrt{1 - \chi^2}} arctan[sqrt{frac{1 + \chi}{1 - \chi}} tan(theta/2)] - frac{sin\theta cos\theta}{1 - \chi cos\theta} + c $
Quindi si ha:
$ \int_{0}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = [frac{2}{sqrt{1 - \chi^2}} arctan[sqrt{frac{1 + \chi}{1 - \chi}} tan(theta/2)] - frac{sin\theta cos\theta}{1 - \chi cos\theta}]_{0}^{\pi} = $
$ = frac{2}{sqrt{1 - \chi^2}} \cdot (frac{\pi}{2}) - 0 - 0 + 0 = frac{\pi}{sqrt{1 - \chi^2}}$
In definitiva si ha:
$ \int_{-\pi}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = 2 \int_{0}^{pi} \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = frac{2\pi}{sqrt{1 - \chi^2}} $
Ciao Pilloeffe,
intanto grazie per il tempo dedicatomi e chiedo scusa per la risposta tardiva. Ti vorrei chiedere se effettivamente hai ricavato la primitiva con la sostituzione parametrica di cui sopra. Questo perchè avevo intrapreso quella strada ma mi sembrava che la faccenda si complicasse un po' troppo, quindi mi ero fermato!
In realtà ammetto di aver fatto uso anche di un trucco un po' più "meschino": te lo accenno solamente, perché comunque i calcoli sono un po' lunghetti...
Ricordando che nel risultato della derivata di un quoziente il denominatore compare al quadrato, si ha:
$\int \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = \int \frac{2 sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta - \chi \int \frac{cos\theta sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = $
$ = 2 \int \frac{1 - cos^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta - \chi \int \frac{cos\theta sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = $
$ = 2 \int \frac{d\theta}{(1-\chi cos\theta)^2} - 2 \int \frac{cos^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta - \chi \int \frac{cos\theta sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = $
$ = 2 \int \frac{d\theta}{(1-\chi cos\theta)^2} - 2 \int (del)/(del\chi)(\frac{cos\theta}{1-\chi cos\theta})d\theta - \chi \int (del)/(del\chi)(\frac{sin^2\theta}{1-\chi cos\theta})d\theta $
Poi ho scambiato derivate rispetto a $\chi $ e integrali in modo da avere integrali più facilmente risolvibili (sempre relativamente parlando... )
Ricordando che nel risultato della derivata di un quoziente il denominatore compare al quadrato, si ha:
$\int \frac{(2-\chi cos\theta) sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = \int \frac{2 sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta - \chi \int \frac{cos\theta sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = $
$ = 2 \int \frac{1 - cos^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta - \chi \int \frac{cos\theta sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = $
$ = 2 \int \frac{d\theta}{(1-\chi cos\theta)^2} - 2 \int \frac{cos^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta - \chi \int \frac{cos\theta sin^2\theta}{(1-\chi cos\theta)^2}d\theta = $
$ = 2 \int \frac{d\theta}{(1-\chi cos\theta)^2} - 2 \int (del)/(del\chi)(\frac{cos\theta}{1-\chi cos\theta})d\theta - \chi \int (del)/(del\chi)(\frac{sin^2\theta}{1-\chi cos\theta})d\theta $
Poi ho scambiato derivate rispetto a $\chi $ e integrali in modo da avere integrali più facilmente risolvibili (sempre relativamente parlando...
)
@pilloeffe: non ho controllato tutti i conti, ma comunque 
Grazie dissonance, i tuoi applausi sono sempre un onore... 
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