Risoluzione di esercizio di ottimizzazione vicolata

[maggiep1]

salve sto da un pò cercando di risolvere questo esercizio spero che mi possiate aiutare:

determinare, se esistono, i punti di massimo e minimo vincolato di $f(x,y)=log(sqrt(y)-x)$ sul vincolo $2=sqrt(x^3y)$


ora ho trovato l'insieme di definizione sia della funzione obiettivo che è $y>x^2$; $y>=0$
e l'insieme di defiizione del vincolo che è $yx^3 >=0$
dai due insiemi deduco che se esite il valore max o min della funzione dovrei trovarmi nel primo quadrante.

ora vado ad esplicitare il vincolo $y=4/x^3$impongo $x!=0$
a questo punto sostituisco nella funione obiettivo quindi:

$g(x)=f(x,4/x^3)=log(sqrt(4/x^3)- x)$

calcolo la derivata prima:

$g'(x)=1/(2/sqrt(x^3) -x)*((-3*sqrt(x^5)-x^5)/x^5)=0$

come soluzioni trovo $x=0$ non accettabile
$x=9^(1/5)$ il problema è che se sostituisco nella derivata prima tale valore non mi annulla la derivata uffaaaaaaaaaaaa non ce la faccio più
ma poi non so come continuare e poi questo processo è lunghissimo ho provato anche con lagrange ma è peggio!!!!

[adaBTTLS1]

c'è qualcosa che non va a livello di segno, perché se deve essere x>0 perché sotto radice è ad esponente dispari, allora quella somma è formata da due addendi negativi e non potrà mai essere uguale a zero. anche se io avrei semplificato qualcosa, errori di calcolo non ne ho trovati...

[gugo82]

Per $x=0$ non trovo soluzioni, perchè nessun punto dell'asse $y$ soddisfa il vincolo.
Quindi quando vado a derivare posso semplificare $x^5$ dentro il secondo fattore della derivata e trovo:

$g'(x)=x^(3/2)/(2-x^(5/2))*(1-3x^(-5/2)) \quad$;

visto che sto supponendo $x>0$, l'unica soluzione di $g'(x)=0$ è quella che proviene da:

$1-3/x^(5/2)=0$

ossia $x=9^(1/5)$.

Ne consegue che i calcoli sono fatti bene.
Forse ti sei persa per la strada quando hai sostituito...

Per concludere, devi innanzitutto se $g(x)$ prende massimo o minimo in $9^(1/5)$.
Fatto questo (ed avendo avuto risposta positiva) ti basta trovare il valore di $y(x)$ corrispondente a $x=9^(1/5)$ ed il valore di $f(9^(1/5),y(9^(1/5)))=g(9^(1/5))$.