Risoluzione di alcuni limiti
Salve ragazzi ho i seguenti limiti vorrei sapere se ho risolto correttamente, non avendo le soluzioni
i limiti sono:
1) $\lim_{x \to \0^+}((e^x -1 -x)/(sin(x)-x))$
2) $\lim_{x \to \0}((cos(x)^2 + cos(x) -2)/(x^2))$
3) $\lim_{x \to \0^+}(tan(x))^(sin(x))$
per quanto riguarda il primo ho semplificato l'argomento nel seguente modo:
$((e^x -1 -x)/(sin(x)-x))$ $=$ $((e^x -1)/(sin(x)-x) - x/(sin(x)-x))$$=$$((e^x -1)/(x)*(x)/(sin(x)-x))$$-$$x/(sin(x)-x)$ che dovrebbe venire $0$ per $x->0$
il secondo invece
$((cos(x)^2 + cos(x) -2)/(x^2))$$=$$((cos(x)^2 -1)/x^2 - (1 -cos(x))/x^2)$ il cui limite per $x ->0$ mi viene $-3/2$
il terzo potrebbe venire una forma indeterminata??
Grazie
Emanuele
i limiti sono:
1) $\lim_{x \to \0^+}((e^x -1 -x)/(sin(x)-x))$
2) $\lim_{x \to \0}((cos(x)^2 + cos(x) -2)/(x^2))$
3) $\lim_{x \to \0^+}(tan(x))^(sin(x))$
per quanto riguarda il primo ho semplificato l'argomento nel seguente modo:
$((e^x -1 -x)/(sin(x)-x))$ $=$ $((e^x -1)/(sin(x)-x) - x/(sin(x)-x))$$=$$((e^x -1)/(x)*(x)/(sin(x)-x))$$-$$x/(sin(x)-x)$ che dovrebbe venire $0$ per $x->0$
il secondo invece
$((cos(x)^2 + cos(x) -2)/(x^2))$$=$$((cos(x)^2 -1)/x^2 - (1 -cos(x))/x^2)$ il cui limite per $x ->0$ mi viene $-3/2$
il terzo potrebbe venire una forma indeterminata??
Grazie
Emanuele
Risposte
Ciao. Per quanto riguarda il terzo , ovvero: $lim_(x->0^+) tg(x)^sin(x)$
io procederei così:
$lim_(x->0^+) tg(x)^sin(x)= lim_(x->0^+) (sin(x)/cos(x))^sin(x)=lim_(x->0^+) (sin(x)^sin(x)/cos(x)^sin(x))$
Il denominatore non dà problemi, mentre rimane da risolvere $lim_(x->0^+) sin(x)^sin(x)$. Facendo la sostituzione $y=sin(x)$, il limite diventa
$lim_(y->0^+)y^y$. Sai quanto vale?
io procederei così:
$lim_(x->0^+) tg(x)^sin(x)= lim_(x->0^+) (sin(x)/cos(x))^sin(x)=lim_(x->0^+) (sin(x)^sin(x)/cos(x)^sin(x))$
Il denominatore non dà problemi, mentre rimane da risolvere $lim_(x->0^+) sin(x)^sin(x)$. Facendo la sostituzione $y=sin(x)$, il limite diventa
$lim_(y->0^+)y^y$. Sai quanto vale?
"Gi8":
Ciao. Per quanto riguarda il terzo , ovvero: $lim_(x->0^+) tg(x)^sin(x)$
io procederei così:
$lim_(x->0^+) tg(x)^sin(x)= lim_(x->0^+) (sin(x)/cos(x))^sin(x)=lim_(x->0^+) (sin(x)^sin(x)/cos(x)^sin(x))$
Il denominatore non dà problemi, mentre rimane da risolvere $lim_(x->0^+) sin(x)^sin(x)$. Facendo la sostituzione $y=sin(x)$, il limite diventa
$lim_(y->0^+)y^y$. Sai quanto vale?
Ciao, grazie dell'aiuto, beh io penso che $0^0 = 0$,
Per gli altri che ho postato, li ritieni corretti?
Ciao, grazie dell'aiuto, beh io penso che $0^0 = 0$
0^0 è forma indeterminata. Per calcolare il limite di x^x con x che va a 0 puoi usare le proprietà dei logaritmi.
Riguardo alle altre: la prima quello che ti viene sono tutte forme indeterminate. Puoi risolvertela facilmente applicando un paio di volte de l'hopital. A me viene - infinito (confermato dal software)
la seconda pure non ho capito come ti è venuto -3/2... a me sempre applicando de l'hopital è uscito -1/2 (anche questo me l'ha confermato il software)
Per i primi due considererei gli infinitesimi delle funzioni utilizzando gli sviluppi di Taylor.
Il primo dei due non mi convince: puoi scrivere qualche passaggio in più?
Comincio dal 2° io l'avevo risolto nel seguente modo:
$((cos(x)^2 + cos(x) -2)/(x^2))$$=$$((cos(x)^2 -1)/x^2 - (1 -cos(x))/x^2)$$=$$(-sin(x)^2/x^2 - (1 -cos(x))/x^2)$
considero solo il membro a destra $(1 -cos(x))/x^2 * (1+cos(x))/(1+cos(x))=(1-cos(x)^2)/x^2 *1/(1+ cos(x)) = sin(x)^2/x^2*1/(1+cos(x))$
quindi abbiamo alla fine
$(-sin(x)^2/x^2 - (1 -cos(x))/x^2)$ =$-sin(x)^2/x^2 - sin(x)^2/x^2*1/(1+cos(x))$ per $x -> 0$ dovremmo avere $(-1 - (1*1/2)) = -1 -1/2 = -3/2$
Credo.
$((cos(x)^2 + cos(x) -2)/(x^2))$$=$$((cos(x)^2 -1)/x^2 - (1 -cos(x))/x^2)$$=$$(-sin(x)^2/x^2 - (1 -cos(x))/x^2)$
considero solo il membro a destra $(1 -cos(x))/x^2 * (1+cos(x))/(1+cos(x))=(1-cos(x)^2)/x^2 *1/(1+ cos(x)) = sin(x)^2/x^2*1/(1+cos(x))$
quindi abbiamo alla fine
$(-sin(x)^2/x^2 - (1 -cos(x))/x^2)$ =$-sin(x)^2/x^2 - sin(x)^2/x^2*1/(1+cos(x))$ per $x -> 0$ dovremmo avere $(-1 - (1*1/2)) = -1 -1/2 = -3/2$
Credo.
Sì, questo mi suona bene, ed anche Maxima concorda. Il primo?
$((e^x -1 -x)/(sin(x)-x))$ $=$ $((e^x -1)/(sin(x)-x) - x/(sin(x)-x))$$=$$((e^x -1)/(x)*(x)/(sin(x)-x))$$-$$x/(sin(x)-x)$ che dovrebbe venire $0$ per $x->0$
Arrivo a questa soluzione perchè per $x$ $->$ $0$ il limite di $(e^x -1)/(x)$ $->$$1$ e quindi se tende a $1$ allora mi ritrovo $1*(x)/(sin(x)-x)$$-$$x/(sin(x)-x)$ e quindi $0$, considerando anche come si comportano i limiti con il prodotto.
Arrivo a questa soluzione perchè per $x$ $->$ $0$ il limite di $(e^x -1)/(x)$ $->$$1$ e quindi se tende a $1$ allora mi ritrovo $1*(x)/(sin(x)-x)$$-$$x/(sin(x)-x)$ e quindi $0$, considerando anche come si comportano i limiti con il prodotto.
Il limite deve venire $+oo$, infatti con gli sviluppi di Taylor si vede subito che [tex]\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^x -1 -x}{\sin(x)-x} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{\frac{x^3}{6}+o(x^3)}=+\infty.[/tex]
Penso che l'errore sia qua, perché non puoi mandare al limite un pezzo per volta della funzione e perché i termini [tex]\frac{x}{\sin(x)-x}[/tex] sono infiniti quando [tex]x \to 0[/tex] ed ottieni quindi la forma indeterminata [tex][+\infty - \infty][/tex]
"emanuele78":
Arrivo a questa soluzione perchè per $x$ $->$ $0$ il limite di $(e^x -1)/(x)$ $->$$1$ e quindi se tende a $1$ allora mi ritrovo $1*(x)/(sin(x)-x)$$-$$x/(sin(x)-x)$ e quindi $0$, considerando anche come si comportano i limiti con il prodotto.
Penso che l'errore sia qua, perché non puoi mandare al limite un pezzo per volta della funzione e perché i termini [tex]\frac{x}{\sin(x)-x}[/tex] sono infiniti quando [tex]x \to 0[/tex] ed ottieni quindi la forma indeterminata [tex][+\infty - \infty][/tex]
"emanuele78":Come non detto... avevo capito che era seno di x al quadrato, mentre è seno al quadrato di x =P
$(-sin(x)^2/x^2 - (1 -cos(x))/x^2)$ =$-sin(x)^2/x^2 - sin(x)^2/x^2*1/(1+cos(x))$ per $x -> 0$ dovremmo avere $(-1 - (1*1/2)) = -1 -1/2 = -3/2$
Credo.
"Raptorista":
Il limite deve venire $+oo$, infatti con gli sviluppi di Taylor si vede subito che [tex]\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^x -1 -x}{\sin(x)-x} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{\frac{x^3}{6}+o(x^3)}=+\infty.[/tex]
[quote="emanuele78"]Arrivo a questa soluzione perchè per $x$ $->$ $0$ il limite di $(e^x -1)/(x)$ $->$$1$ e quindi se tende a $1$ allora mi ritrovo $1*(x)/(sin(x)-x)$$-$$x/(sin(x)-x)$ e quindi $0$, considerando anche come si comportano i limiti con il prodotto.
Penso che l'errore sia qua, perché non puoi mandare al limite un pezzo per volta della funzione e perché i termini [tex]\frac{x}{\sin(x)-x}[/tex] sono infiniti quando [tex]x \to 0[/tex] ed ottieni quindi la forma indeterminata [tex][+\infty - \infty][/tex][/quote]att
ok, infatti il mio dubbio era proprio quello che hai sollevato tu.
grazie a tutti
"Pdirac":
Ciao, grazie dell'aiuto, beh io penso che $0^0 = 0$
0^0 è forma indeterminata. Per calcolare il limite di x^x con x che va a 0 puoi usare le proprietà dei logaritmi.
Riguardo alle altre: la prima quello che ti viene sono tutte forme indeterminate. Puoi risolvertela facilmente applicando un paio di volte de l'hopital. A me viene - infinito (confermato dal software)
la seconda pure non ho capito come ti è venuto -3/2... a me sempre applicando de l'hopital è uscito -1/2 (anche questo me l'ha confermato il software)
Ritornando a qesto limite so dalla proprietà dei logaritmi che $f(x)^g(x)$$=$$e^(ln(f(x))^g(x))$ quindi nel caso dovrebbe essere $e^(sin(x)*ln(sin(x))$ che viene $e^(0*oo)$ quindi $1$?
"emanuele78":
Ritornando a qesto limite so dalla proprietà dei logaritmi che $f(x)^g(x)$$=$$e^(ln(f(x))^g(x))$ quindi nel caso dovrebbe essere $e^(sin(x)*ln(sin(x))$ che viene $e^(0*oo)$ quindi $1$?
[tex]0 \cdot \infty[/tex] è ancora una forma di indeterminazione!
"Raptorista":
Il limite deve venire $+oo$, infatti con gli sviluppi di Taylor si vede subito che [tex]\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^x -1 -x}{\sin(x)-x} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{\frac{x^3}{6}+o(x^3)}=+\infty.[/tex]
[quote="emanuele78"]Arrivo a questa soluzione perchè per $x$ $->$ $0$ il limite di $(e^x -1)/(x)$ $->$$1$ e quindi se tende a $1$ allora mi ritrovo $1*(x)/(sin(x)-x)$$-$$x/(sin(x)-x)$ e quindi $0$, considerando anche come si comportano i limiti con il prodotto.
Penso che l'errore sia qua, perché non puoi mandare al limite un pezzo per volta della funzione e perché i termini [tex]\frac{x}{\sin(x)-x}[/tex] sono infiniti quando [tex]x \to 0[/tex] ed ottieni quindi la forma indeterminata [tex][+\infty - \infty][/tex][/quote]
Stavo osservando la soluzione postata notavo che lo sviluppo in serie comporta che al denominatore vi sia una funzione con ordine di grandezza più alto del numeratore, allora non dovrebbe venire $0$?
"emanuele78":
Stavo osservando la soluzione postata notavo che lo sviluppo in serie comporta che al denominatore vi sia una funzione con ordine di grandezza più alto del numeratore, allora non dovrebbe venire $0$?
No, perché per [tex]x[/tex] che tende a zero le funzioni sono infinitesime, non infinite.
"Raptorista":
[quote="emanuele78"]
Stavo osservando la soluzione postata notavo che lo sviluppo in serie comporta che al denominatore vi sia una funzione con ordine di grandezza più alto del numeratore, allora non dovrebbe venire $0$?
No, perché per [tex]x[/tex] che tende a zero le funzioni sono infinitesime, non infinite.[/quote]
Hai ragione, pensavo ad $x$ che tende ad infinito.
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