Risoluzione del limite...
Ragazzi per \(\displaystyle x \rightarrow 0 \) di
\(\displaystyle \frac{arctg^2(2senx - log (1+x))}{(2^x-1)(1 + tgx)^{\frac{1}{2}} -1} \)
ragazzi ho un problema forse anche di natura teorica riguardo taylor...ho problemi ad trovare il polinomio di grado n per funzioni composte, specie quella del denominatore...
comunque il primo passo è stato dire che \(\displaystyle (2^x-1) \sim ln2 \)
poi lo sviluppo di \(\displaystyle (1 + tgx)^{\frac{1}{2}} \) come si trova? forse trovandolo prima per \(\displaystyle (1 + y)^{\frac{1}{2}} \) dicendo che \(\displaystyle y=tgx \) ma poi avrei una cosa del genere:
\(\displaystyle 1 + \frac{y}{2}... \) e risostituendo \(\displaystyle 1 + \frac{tgx}{2}... \) a questo punto si può dire che \(\displaystyle tgx \sim x \),
e quindi dire che lo sviluppo è \(\displaystyle 1 + \frac{x}{2}.... \)???
il numeratore come si sviluppa please???
\(\displaystyle \frac{arctg^2(2senx - log (1+x))}{(2^x-1)(1 + tgx)^{\frac{1}{2}} -1} \)
ragazzi ho un problema forse anche di natura teorica riguardo taylor...ho problemi ad trovare il polinomio di grado n per funzioni composte, specie quella del denominatore...
comunque il primo passo è stato dire che \(\displaystyle (2^x-1) \sim ln2 \)
poi lo sviluppo di \(\displaystyle (1 + tgx)^{\frac{1}{2}} \) come si trova? forse trovandolo prima per \(\displaystyle (1 + y)^{\frac{1}{2}} \) dicendo che \(\displaystyle y=tgx \) ma poi avrei una cosa del genere:
\(\displaystyle 1 + \frac{y}{2}... \) e risostituendo \(\displaystyle 1 + \frac{tgx}{2}... \) a questo punto si può dire che \(\displaystyle tgx \sim x \),
e quindi dire che lo sviluppo è \(\displaystyle 1 + \frac{x}{2}.... \)???
il numeratore come si sviluppa please???
Risposte
"davidedesantis":
Ragazzi per \(\displaystyle x \rightarrow 0 \) di
\(\displaystyle \frac{arctg^2(2senx - log (1+x))}{(2^x-1)(1 + tgx)^{\frac{1}{2}} -1} \)
A denominatore hai dimenticato una parentesi, suppongo... Ho ragione?
Per quanto riguarda il numeratore non serve neanche scomodare Taylor...
$arctan^2( 2 sin(x) - log ( 1 + x ) ) sim ( 2 sin(x) - log( 1 + x ))^2$ per $x -> 0$.
$( 2 sin(x) - log( 1 + x ))^2 = ( 2x - x + o(x) )^2 = (x + o(x))^2 = x^2 + o(x^2)$
Al denominatore, se è come dico io, hai:
$(2^x - 1) * [( 1 + tan(x))^(1/2) - 1 ] sim ln(2) x * tan(x) * 1/2 sim ln(2)/2 * x^2$ per $x -> 0$.
si ho dimenticato la parentesi che tu dici...in pratica al numeratore hai usato taylor fino al grado n=1??
Allora sul numeratore ci sono e ho capito che quel tipo di sostituzioni che ho messo nella domanda sono fattibili, però alla fine dei tuoi calcoli sul numeratore, ci sarebbe un quadrato di un binomio tu hai fatto anche il doppio prodotto ma in realtà sparisce tramire le proprietà degli \(\displaystyle opiccoli? \)
il denominatore hai scritto essere asintotico di qualcosa...non ho capito bene quel che hai fatto perchè a me non viene come scrivi tu...comunque il risultato è giusto!
il denominatore hai scritto essere asintotico di qualcosa...non ho capito bene quel che hai fatto perchè a me non viene come scrivi tu...comunque il risultato è giusto!
Il doppio prodotto viene "assorbito" da $o(x^2)$.
Per quanto concerne il denominatore... Ho usato questo fatto: $lim_(y -> 0) (( 1 + y )^k - 1)/y = k$ , nel caso in cui $k = 1/2$.
Quindi $( 1 + y )^(1/2) - 1 sim y/2$ per $y -> 0$.
Per quanto concerne il denominatore... Ho usato questo fatto: $lim_(y -> 0) (( 1 + y )^k - 1)/y = k$ , nel caso in cui $k = 1/2$.
Quindi $( 1 + y )^(1/2) - 1 sim y/2$ per $y -> 0$.
quello che hai usato cosa sarebbe un limite notevole? vale solo se \(\displaystyle k= \frac{1}{2} \)?
e poi quella \(\displaystyle x \) che moltiplica \(\displaystyle tgx... \) dove esce?
se facessi lo sviluppo di taylor a denominatore, il medesimo non verrebbe:
\(\displaystyle ln2( \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8})... \)??? e perchè non viene ugualmente??
\(\displaystyle ln2( \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8})... \)??? e perchè non viene ugualmente??
Perché $2^x - 1 sim x$ per $x -> 0$
e $(1 + tan(x) )^(1/2) - 1 sim (tan(x))/2 sim x/2$.
e $(1 + tan(x) )^(1/2) - 1 sim (tan(x))/2 sim x/2$.
sisi hai ragione credevo che semplicemente \(\displaystyle 2^x -1 \) fosse \(\displaystyle \sim \) \(\displaystyle ln2 \), invece c'è anche una \(\displaystyle x \) e mi pare giusto! 
secondo te ad uno scritto di analisi 1 di ingegneria i limiti così ci posso stare o sono "facili"?
secondo te ad uno scritto di analisi 1 di ingegneria i limiti così ci posso stare o sono "facili"?
Dipende da chi tiene il corso e da chi prepara i compiti... Non usi vecchi compiti di anni passati per fare esercizio?
anche anche...questi limiti li ho presi da un prof della federico II di napoli di matematica e applicazioni, da quel che ho visto credo siano un pò più difficili di quelli di ingegneria qui a roma...
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