Risolubilità problema di Sturm-Liouville
Domanda: è risolubile il seguente problema di Sturm-Liouville?
$\{(y'' - \pi^2 y = -x),(y(0) = y(1) = 0):}$, $x \in [0,1]$
Io ho ragionato così, il problema omogeneo è $y'' - \pi^2 y + \lambda y = 0$, la cui equazione caratteristica è
$r^2 + \lambda - \pi^2 = 0$
che ha come soluzioni $r_{1,2} = \pm \sqrt{\pi^2 - \lambda}$. Se $\lambda=0$ allora l'integrale generale è
$y_{OM}(x) = c_1 e^{\pi x} + c_2 e^{-\pi x}$, e imponendo le condizioni al bordo si ottiene
$\{(c_1 + c_2 = 0),(c_1 e^{\pi} + c_2 e^{-\pi} = 0):}$
la cui unica soluzione è $c_1 = c_2 = 0$. Dunque $\lambda = 0$ non è autovalore, di conseguenza il problema ha un'unica soluzione.
A me sembra corretto lo svolgimento, ma mi pare un po' troppo facile e un po' troppo immediata la conclusione... Potreste confermare il procedimento o smentirmi?
$\{(y'' - \pi^2 y = -x),(y(0) = y(1) = 0):}$, $x \in [0,1]$
Io ho ragionato così, il problema omogeneo è $y'' - \pi^2 y + \lambda y = 0$, la cui equazione caratteristica è
$r^2 + \lambda - \pi^2 = 0$
che ha come soluzioni $r_{1,2} = \pm \sqrt{\pi^2 - \lambda}$. Se $\lambda=0$ allora l'integrale generale è
$y_{OM}(x) = c_1 e^{\pi x} + c_2 e^{-\pi x}$, e imponendo le condizioni al bordo si ottiene
$\{(c_1 + c_2 = 0),(c_1 e^{\pi} + c_2 e^{-\pi} = 0):}$
la cui unica soluzione è $c_1 = c_2 = 0$. Dunque $\lambda = 0$ non è autovalore, di conseguenza il problema ha un'unica soluzione.
A me sembra corretto lo svolgimento, ma mi pare un po' troppo facile e un po' troppo immediata la conclusione... Potreste confermare il procedimento o smentirmi?
Risposte
Ma è così
o così
$\{(y'' - \pi^2 y = -lambda y),(y(0) = y(1) = 0):}$, $x \in [0,1]$
???
"Tipper":
$\{(y'' - \pi^2 y = -x),(y(0) = y(1) = 0):}$, $x \in [0,1]$
o così
$\{(y'' - \pi^2 y = -lambda y),(y(0) = y(1) = 0):}$, $x \in [0,1]$
???
EDIT: Come non detto...
Salta fuori da qui... Avendo un problema di S-L non omogeneo, nella forma $Ty = f$ (più condizioni al bordo), allora se $y_n$ sono le autofunzioni di $T$ relativi agli atuovalori $\lambda_n$, risulta $Ty_n = - \lambda_n q y_n$ ($q > 0$ è una funzione peso). $T$ è un operatore (può essere visto fra spazi di Hilbert) lineare, continuo, autoaggiunto, compatto, e se è invertibile (i.e. $0$ non è autovalore) la soluzione può essere sviluppata in serie di autofunzioni come
$T^{-1} f = \sum_{n=1}^{+\infty} - \frac{1}{\lambda_n} \frac{\int_a^b f y_n dx}{\int_a^b q(x) y_n^2(x) dx} y_n(x)$
Ora a me pare di aver applicato tutto correttamente, ma non vorrei ci fosse una magagna da qualche parte, perché mi sembra troppo semplice arrivare alla soluzione come ho fatto...
$T^{-1} f = \sum_{n=1}^{+\infty} - \frac{1}{\lambda_n} \frac{\int_a^b f y_n dx}{\int_a^b q(x) y_n^2(x) dx} y_n(x)$
Ora a me pare di aver applicato tutto correttamente, ma non vorrei ci fosse una magagna da qualche parte, perché mi sembra troppo semplice arrivare alla soluzione come ho fatto...
Eh sì scusa hai ragione, effettivamente mi pareva troppo semplice... Sorry cancello buona fortuna con gli altri...
No, non ti scusare di nulla, anzi, grazie per essere intervenuto. 
Ovviamente il problema può anche essere risolto come un normalissimo problema di Cauchy così come mi hai mostrato, ma in questo caso la domanda era stata posta per ragionare sugli autovalori in ambito della teoria di S-L. 
Ovviamente il problema può anche essere risolto come un normalissimo problema di Cauchy così come mi hai mostrato, ma in questo caso la domanda era stata posta per ragionare sugli autovalori in ambito della teoria di S-L.
Comunque, se ti può consolare, ho visto che su un libro di esercizi di analisi che ho, svolge alcuni problemi di Sturm - Liouville e a occhio uno sembra un poco simile al tuo e fa + o - i tuoi ragionamenti... insomma gran consolazione... Vabbè scusa per averti fatto perdere tempo.
Don't worry, anzi, grazie della conferma! 
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