[RISOLTO]Limite calcolato con infinitesimi

[psykomantisita]

Salve a tutti,
non mi torna questo limite calcolato con gli infinitesimi, qualcuno saprebbe dirmi dove sbaglio?
io voglio calcolare $lim_(x->0) (x^2 +3x)/(e^x -1)$ questo limite fa 3 (lo dice wolfram).

Sostituendo ho chiaramente una forma di indeterminazione del tipo $[0/0]$ bene. Allora usando gli infinitesimi (e la loro parte principale) posso considerare solo il limite dei termini che tendono a zero meno velocemente degli altri in questo caso:
$lim_(x->0) 3x$ ma avrei comunque che il limite è uguale a $0$.
Eppure se applico lo stesso principio su altri limiti mi viene, perche?

[marco.ceccarelli]

NUMERATORE: $x^2+3x=x(x+3)$

DENOMINATORE: $e^x-1~~x$

Semplificando, e per $xrarr0$, si ottiene $3$.

[psykomantisita]

$e^x-1≈ x$ lo hai derivato dal fatto? mi sa che mi manca qualcosa.

[francicko]

Se scrivi $e$ nella forma $lim_(x->0)(1+x)^(1/x)=e$, te ne accorgi facilmente, in quanto$lim_(x->0)((1+x)^(1/x))^x-1=lim_(x->0)(1+x)^((1/x)(x))-1=lim_(x->0)(1+x)-1=lim_(x->0)=x$, questo significa che man mano ci avviciniamo a zero nell'intorno di $x$ la funzione $e^x-1$ si aprrossima ad $x$

[21zuclo]

si potrebbe dire anche che $ e^(x)-1 $ \(\sim\) $x$ per $x\to 0$

ti ricordo che \(f(x)\sim g(x)\) per $ x\to \text{qualcosa} $ se e solo se $ \lim_(x\to \text{qualcosa}) (f(x))/(g(x))=1 $

nel tuo caso $ \lim_(x\to 0) (e^x-1)/(x)=1 $

[psykomantisita]

Ok, grazie mille. Ora ho capito, non avevo mai pensato di sostituire un termine con qualcosa che si comporta nello stesso modo. è davvero utile. Grazie a tutti!