[RISOLTO]integrale secondo Riemann

[mrOrange11]

Buonasera, sto preparando l'orale di analisi 1 e mentre studiavo l'integrale definito mi sono impuntato. Ho questa definizione:
$ f $ limitata su $ [a,b] $ si dice che $ f $ è Riemann integrabile su $ [a,b] $ sse $ s(P) $ e $ S(p) $ hanno un solo elemento separatore.
Ecco, quello che non mi torna è l'unicità dell'elemento separatore, io so che per la completezza in $ R $ esiste almeno un numero tra altri due, ma ce ne sono infiniti no? Quindi la mia domanda è: come fa ad essercene solo uno?
E poi, tanto ci siamo, potreste chiarirmi cosa si intende per sup(o inf) delle somme inferiori(o superiori)? si intende di tutte(infinite) le partizioni che posso fare prendo quella "migliore"?
Non mi va di andare all'orale e sembrare un pappagallo. grazie in anticipo!

[Frink1]

$s(P)$ e $S(P)$ sono tutti i valori che possono assumere le somme inferiori e superiori al variare della partizione $P$. In questo c'entra l'unicità dell'elemento separatore: $s(P)$ e $S(P)$ non sono numeri ma insiemi di numeri. Se prendo rispettivamente l'estremo superiore e inferiore dei due insiemi e ho un unico elemento separatore, allora la funzione si dice Riemann-integrabile.

Per sup e inf si intende l'estremo sup e inf delle somme al variare delle partizioni. E' abbastanza facile dimostrare che la miglior approssimazione si ha con la partizione più fine, quindi possiamo anche dire che il sup e l'inf sono le somme inferiori e superiori calcolate sulla partizione più fine di tutte (ma è sbagliato, non ha senso identificare così un estremo, dalla teoria dovresti capire cosa significa estremo superiore per poter interpretare al meglio anche in questo contesto).

[mrOrange11]

Grazie della risposta, ho capito che $ s(P) e S(P) $ sono insiemi di numeri, ma non riesco a digerire il concetto che preso sup e inf ho un unico elemento separatore, non è ho infiniti?
Grazie per il chiarimento di sup e inf.

[Frink1]

Non è che non ve ne possono essere infiniti, semplicemente in questo caso non ve ne sono infiniti.
Prendi ad esempio gli insiemi $A=(a,b)$ e $C=(b,c)$ con $a

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[mrOrange11]

SupA=b e infC=b

[Frink1]

Voilà. Vedi ora che i due insiemi hanno lo stesso elemento di separazione, che è unico: $b$ non appartiene né ad $A$ né a $C$, ma divide esattamente i due insiemi.

[mrOrange11]

Non possiamo prendere ad esempio b+epsilon perché andremmo in contraddizione con la def di inf?

[Frink1]

L'inf è $b$, quindi $b+\epsilon > b$. Certamente il punto sta nell'insieme $C$, ma non è l'estremo inferiore, né separa i due insiemi...

[mrOrange11]

"Frink":L'inf è $b$, quindi $b+\epsilon > b$. Certamente il punto sta nell'insieme $C$, ma non è l'estremo inferiore, né separa i due insiemi...

Si infatti, perfetto. Capito. Grazie mille per la pazienza, vista la banalità degli argomenti trattati.